Hausdorff-Axiom Aufgabe (b)

Question

Text erkannt:

Überprüfen Sie, ob die folgenden topologischen Räume das Hausdorff-Axiom erfüllen:
(a) \( \left(\mathbb{R}, \mathcal{O}_{\text {coc }}\right) \), wobei \( \mathcal{O}_{\text {coc }} \) wieder die koabzählbare Topologie ist.
(b) \( \left(X, \mathcal{O}_{\text {diskret }}\right) \), wobei \( X \) eine beliebige Menge und \( \mathcal{O}_{\text {diskret }}=\mathcal{P}(X) \) die diskrete Topologie ist.

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe, danke.

Comments

Zu a): Können zwei nichtleere offene Mengen hier überhaupt disjunkt sein? Hier scheitert es schon.

Zu b): Was ist die simpelste offene Umgebung eines Punktes in der diskreten Topologie, die du dir vorstellen kannst?

Answer 1

b) Seien \(a,b\in X\). Gib Mengen \(A,B\subseteq X\) an, so dass \(a\in A\), \(b\in B\) und \(A\cap B=\emptyset\) ist. Begründe das \(A\in \mathcal O_{\text{diskret}}\) und \(B\in \mathcal O_{\text{diskret}}\) ist.

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können Sie mir auch bei der a) helfen ?