3 Aufgaben: von Metriken zu Normen und Produkttopologie und Konvergenz in Hausdorff-Räumen

Question

Aufgaben:

Aufgabe A.1.1 (Von Metriken zu Normen)
Sei (X, d) ein metrischer R-Vektorraum, wobei die Metrik d : X × X → R≥0 für alle x, y ∈ X und
λ ∈ R die Eigenschaften
d(x − y, 0) = d(x, y) und
d(λx, 0) = |λ| d(x, 0)
erfülle. Zeigen Sie, dass durch δ0(x) := d(x, 0) eine Norm auf X definiert ist.
  

Aufgabe A.1.2 (Produkttopologie)
Seien (A, OA) und (B, OB) topologische Räume. Beweisen oder widerlegen Sie, dass
O := {X × Y | X ∈ OA, Y ∈ OB} eine Topologie auf A × B ist.

Aufgabe A.1.3 (Konvergenz in Hausdorff-Räumen)
Sei (X,OX) ein topologischer Raum, der das Hausdorff-Axiom erfülle. Beweisen Sie, dass Grenz-
werte von konvergenten Folgen eindeutig sind.

Problem/Ansatz:

ich brauche helfe bei diesen 3 Aufgaben. Danke :)

Comments

Welche Hilfe denn? Das ist reichlich unkonkret. Was bei A.1.1 zu tun ist, ist klar, oder? Fang mal an. Wenn Du hängen bleibst, helfen wir.

Answer 1

1.1: Du musst die Norm-Axiome prüfen, also hier zeigen, dass

δ0:X × X → R^≥0  eine Abbildung ist und für alle u,v ∈ X

und λ ∈ R gilt  1.  δ0(u)=0 ==>   u=0

                      2. δ0(λu)=|λ|δ0(u)

                       3. δ0(u+v)≤δ0(u)+δ0(v)

Zu 1. etwa so:   δ0(u)=0 ==> d(u,0)=0

und weil d eine Metrik ist also u=0.

zu 2. δ0(λu) = d(λu,0)

mit der Eigenschaft d(λx, 0) = |λ| d(x, 0)

folgt dann  d(λu,0) = |λ| d(u, 0). Also gilt auch 2.

zu 3. δ0(u+v)= d(u + v, 0) = d(u-(-v), 0)

mit der Eigenschaft  d(x − y, 0) = d(x, y) hast du also

δ0(u+v)=  d(u,(-v)) mit der Dreiecksungleichung für Metriken also

         ≤d(u,0) + d(0,-v) Symmetrie von d gibt

    = d(u,0) + d(-v,0)= d(u,0) + d((-1)v,0)

                     = d(u,0) + |-1|d(v,0)                = d(u,0) + 1*d(v,0)

                    = d(u,0) + d(v,0)  =  δ0(u)+δ0(v). Also gilt auch 3.