inhomogene DGL störgliedansatz parameter

Question

Aufgabe:

Löse die inhomogene DGL

y'' + 10y'+25y = 841cos(-2x)

Problem/Ansatz:

ich komme bis zur partikulären Gleichung, der inhomogenen DGL

yp(x) = B*sin(ß*x)+C*cos(ß*x) , welche ich auch korrekt ableitete

y'p(x) = -2*B*cos(-2x)+2*C*sin(-2x)

y''p(x)  = -4*B*sin(-2x)-4*C*cos(-2x)

mir ist auch bewusst, dass ich diese Gleichungen dann in die "richtige" inhomogene Gleichung einsetzen muss und dann über Koeffizientenvergleich B und C bestimmen müsste, doch hier hackt es. Ich vergleich die Koeffizienten die mit cos(-2x) in zusammenhang stehen und komme auf folgende gleichung:

-20B+21C=841

laut lösung sind B = -20 und C = 21, doch ich kann nicht mit gutem gewissen einfach auf gutglück die faktoren vor den variablen als lösung nehmen. Ich bräuchte noch von irgendwo eine zweite gleichung doch weiß nicht von wo... oder gibt es eine bessere lösung?

Answer 1

Man muss die in Koeffizienten von \(\cos\) vergleichen und auch die von \(\sin\). Das sind die zwei Gleichungen.

Und wenn Du die Herausforderung suchst, rechnest Du wie in der Aufgabe angegeben, mit \(\cos (-2x)\). Wenn Du's lieber einfach und sicher magst, lieber mit \(\cos(2x)\) (was dasselbe ist).

Comments

hast du auch ein tipp wie man

-20B +21C = 841

21B +20C = 0

ohne taschenrechner berechnen kann? meine kopfrechenfähigkeiten schreiten zu ihrer grenze

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Du musst es ja nicht im Kopf machen - mit Stift und Papier geht es auch. Es kommen ja ganzzahlige Lösungen raus - wenn die Gleichungen stimmen, was sie nicht tun. Prüfe die Vorzeichen der Koeffizienten von B.

Ist ja nur ein kleines LGS, dafür gibt es ja Verfahren aus der Schule.