Mü und Sigma aus Datensatz ermitteln, Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Die Körpergrößen von 25 Volleyball-Spielerinnen einer Schulmannschaft wurden auf Zentimeter genau gemessen und die Ergebnisse in einer Tabelle dargestellt. Zur Modellierung der Daten wählt man die Normalverteilung.

Größe	165	168	169	170	172	174	175	177	179
Anzahl	1	1	3	3	7	4	3	1	2

b) Ermitteln Sie mit einem digitalen Hilfsmittel (WTR) je einen passenden Wert für μ und σ.

Lösung: Mit dem WTR ergibt sich μ ca. 172,4 und σ ca. 3,26

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe zum Üben versucht zu machen, aber da ich bis jetzt nur Aufgaben gemacht hatte, bei denen μ und σ gegeben war, weiß ich gerade nicht, wie die in den Lösungen auf die Werte gekommen sind, bzw. wie man σ und μ bestimmt.

Update: Erwartungswert μ habe ich jetzt hinbekommen, aber bei σ hapert es noch.

\( \begin{aligned} E(x) & =165 \cdot \frac{1}{25}+168 \cdot \frac{1}{25}+169 \cdot \frac{3}{25}+170 \cdot \frac{3}{25} \\ & +172 \cdot \frac{7}{25}+174 \cdot \frac{4}{25}+175 \cdot \frac{3}{25}+178 \cdot \frac{1}{25}+179 \cdot \frac{2}{25} \\ & =172,4\end{aligned} \)

Answer 1

Auch für die Standardabweichung gibt es eine Formel. Raussuchen, Zahlen einsetzen, ausrechnen. Einige Taschenrechner können sowas über das Statistikmenü. Da gibt man die Daten in einer Tabelle an und bekommt die statistischen Kennzahlen angezeigt. Informiere dich selbst, wie es bei deinem Rechner funktioniert.

Answer 2

Erwartungswert

μ = 165·1/25 + 168·1/25 + 169·3/25 + 170·3/25 + 172·7/25 + 174·4/25 + 175·3/25 + 177·1/25 + 179·2/25 = 172.4

Varianz

σ^2 = (165 - 172.4)^2·1/25 + (168 - 172.4)^2·1/25 + (169 - 172.4)^2·3/25 + (170 - 172.4)^2·3/25 + (172 - 172.4)^2·7/25 + (174 - 172.4)^2·4/25 + (175 - 172.4)^2·3/25 + (177 - 172.4)^2·1/25 + (179 - 172.4)^2·2/25 = 10.64

oder

σ^2 = 165^2·1/25 + 168^2·1/25 + 169^2·3/25 + 170^2·3/25 + 172^2·7/25 + 174^2·4/25 + 175^2·3/25 + 177^2·1/25 + 179^2·2/25 - 172.4^2 = 10.64

Standardabweichung

σ = √10.64 = 3.262

Comments

Zur Berechnung von µ und σ wird ja die Voraussetzung zur Modellierung der Daten wählt man die Normalverteilung nicht herangezogen.

Eventuell gibt es ein Regressionsverfahren, mit dem man zunächst eine für diese Werte passende Normalverteilung ermittelt (das weiß ich nicht) und anschließend die Parameter dieser so bestimmten Normalverteilug findet.

Ergeben sich dann automatisch die gleichen Werte wie oben ?

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Ich weiß, dass man die Standardabweichung noch korrigieren sollte. Aber dann sollten Erwartungswert und Standardabweichung doch erwartungstreu sein. D.h. eine bessere Modellierung gibt es nicht. Die Normalverteilung wird doch mit μ und σ modelliert.

Ich habe aber auch nicht Mathematik studiert, sondern nur Wirtschaftsinformatik. Und im Rahmen der sicher eingeschränkten Aufgaben haben wir auch nichts anderes gelernt.

Bei Wikipedia steht

Erwartungstreue (oft auch Unverzerrtheit, englisch unbiasedness) bezeichnet in der mathematischen Statistik eine Eigenschaft einer Schätzfunktion (kurz: eines Schätzers). Ein Schätzer heißt erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert gleich dem wahren Wert des zu schätzenden Parameters ist.

Wenn es hier jedoch Leute gibt, die etwas mehr dazu sagen können, ob es nicht auch abweichende Werte für Mü und Sigma geben kann, die evtl. besser auf eine Normalverteilung passen wäre ich neugierig.

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Übrigens verwendet man ja die Normalverteilung indem man sagt, man schätzt die Parameter Mü und Sigma. Würde man eine Biomialverteilung erwarten, dann hätte man eher die Parameter n und p geschätzt.

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Gemeint war Folgendes :

blau : Datenpunkte ,
rot : Normalverteilung mit µ und σ wie oben
grün : "nach Augenmaß angepasste" Normalverteilung, es ergab sich µ=171,6cm, σ=3,15cm.

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Der Mittelwert und die Stichprobenvarianz sind geeignete Schätzer für die Parameter der Normalverteilung.

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Interessant. Ich weiß grad nicht, wo dann der Denkfehler liegt, aber das ist ja eindeutig, dass der Graph von dir deutlich besser zu den Werten passt.

Die Aufgabe lautete ja

Ermitteln Sie mit einem digitalen Hilfsmittel (WTR) je einen passenden Wert für μ und σ.

Gibt es denn irgendeinen WTR der die gegebene Aufgabe nicht mittels der normalen Formel rechnet. Ich kenne nur den Casio und bedingt den von Texas Instruments und beide liefern im Statistikmodus die gegebenen Werte bzw. auch die korrigierte Standardabweichung.

Ich muss da mal in Ruhe drüber nachdenken wieso die Formel so verkehrt sein kann.

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Der Mittelwert und die Stichprobenvarianz sind geeignete Schätzer für die Parameter der Normalverteilung.

Aha. Und wie würdest du es erklären, dass der grüne Graph deutlich besser zur Verteilung passt als der rote Graph?