Vergleiche die Volumina des einbeschriebenen Kegels und des Doppelkegels.

Question

Aufgabe:

Die beiden Zylinder sind kongruent. Vergleiche die Volumina des einbeschriebenen Kegels und des Doppelkegels.

Problem/Ansatz:

wie gehe ich vor ? Welche Formeln muss ich benutzen ?

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r ist der Radius des Kreises

h ist die Höhe des Zylinders

s ist die Länge der Seitenkante/Mantellinie des Kegels

V ist das Volumen des farbigen Körpers

s kann mit dem Satz des Pythagoras ausgerechnet werden.

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Die Frage zu den Volumina von Kegel und Doppelkegel bezieht sich nur auf die abgebildeten zwei Figuren. Die darüber stehende Tabelle gehört gar nicht dazu (sondern zu anderen Teilaufgaben) und ist deshalb eher verwirrend.

Answer 1

Wenn die Zylinder beide Grundkreisradius r und Höhe h haben,

dann gilt für den Kegel \(  V_{Ke}= \frac{1}{3}r^2 \pi h   \)

und für den Doppelkegel \(  V_{DoKe}= 2\cdot \frac{1}{3}(\frac{r}{2})^2 \pi h = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}r^2 \pi h\)

Der DoKe hat also das halbe Volumen des Ke.

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Warum r/2 ? Die Höhe h ist doch die Hälfte beim Doppelkegel, oder?

Answer 2

Welche Formeln muss ich benutzen ?

Da die Aufgabe lautet:

Vergleiche die Volumina des einbeschriebenen Kegels und des Doppelkegels

sollst Du die Formel für das Kegelvolumen verwenden.

Answer 3

Der Zylinder hat den Radius r und die Höhe h. Dann berechnet sich der Kegel und Doppelkegel wie folgt.

Kegel

V_K = 1/3 * pi * r^2 * h

Doppelkegel

V_DK = 2 * 1/3 * pi * r^2 * h/2 = 1/3 * pi * r^2 * h = V_K

Der Doppelkegel besteht also aus zwei Kegeln, die jeweils ein halb so großes Volumen haben. Daher haben Doppelkegel und der normale Kegel das gleiche Volumen.

Comments

Ja.

Man könnte die Idee noch etwas kürzer rüberbringen, wenn man noch etwa die Abkürzung A für den Flächeninhalt des Grundkreises verwendet.