Zuerst einmal ist "stochastisch unabhängig" ein allgemeinerer Begriff. Für zwei beliebige Zufallsvariablen kannst du dich fragen, ob sie abhängig sind oder nicht, dafür müssen sie keine reellen (komplexe, usw..) Zufallsvariablen sein oder dazu noch welche mit verschiedenen Eigenschaften.
Zwei reelle Zufallsvariablen \(X,Y\) heißen korreliert, wenn ihr Korrelationskoeffizient ungleich \(0\) ist. Das ist äquivalent dazu, dass die Kovarianz ungleich \(0\) ist. Dafür müssen die Zufallsvariablen zuerst einmal reell sein, und Erwartungswerte besitzen, UND es muss auch den Erwartungswert von \(XY\) geben. Man kann also schon über weniger Zufallsvariablen überhaupt die Frage stellen, ob sie korrelliert sind.
Nun zur Beziehung zwischen den beiden:
Wenn zwei reelle Zufallsvariablen \(X,Y\) Erwartungswerte besitzen und es auch den Erwartungswert von \(XY\) gibt, dann folgt aus stochastischer Unabhängigkeit automatisch Unkorreliertheit, denn für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen gilt \(E(X)E(Y)=E(XY)\), die Kovarianz ist ja definiert als die Differenz zwischen den beiden. Die Kontraposition davon ist: Wenn \(\mathrm{Cov}(X,Y)\neq 0\) (also \(X,Y\) sind korreliert), dann können \(X,Y\) nicht stochastisch unabhängig sein.
Der Umkehrschluss gilt nicht! Zwei stochastisch abhängige Variablen können unkorreliert sein! Oder anders gesagt: Aus Unkorreliertheit folgt nicht unbedingt Unabhängigkeit!
Um das etwas intuitiv zu begründen: Die Kovarianz kann man schreiben als:
\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\), manchmal ist das auch die Definition. Wenn du dir das mal anschaust, siehst du folgendes: Wenn du Experimente durchführst und \(X\) und \(Y\) weichen beide in die gleiche Richtung ab (sie sind beide über oder beide unter ihrem Erwartungswert), dann trägt das positiv zur Kovarianz bei. Weichen sie in unterschiedliche Richtungen ab (die eine Variable ist über ihrem EW, die andere unterhalb), dann trägt das negativ zur Kovarianz bei. Positive Kovarianz sagt also im Prinzip nur auf eine gewichtete Weise aus: "Wenn ich ein Experiment mache und Messgröße \(X\) hat einen Ausreißer nach oben/unten, kann ich im Durchschnitt davon ausgehen, dass Messgröße \(Y\) auch einen in die gleiche Richtung hat."
Du kannst dir recht einfach zwei Zufallsvariablen basteln, die offensichtlich kausal (und damit auch stochastisch) voneinander abhängig sind, die aber völlig zufällig voneinander vom Erwartungswert abweichen. Nimm dir z.B. \(X\) gleichverteilt auf \([-1,1]\) und \(Y=|X|\), die beiden Zufallsvariablen sind offensichtlich stochastisch abhängig. Der Erwartungswert von \(X\) ist \(0\) und der von \(Y\) ist \(0.5\). Jetzt nimm mal an \(Y\) weicht irgendwie vom EW ab, ist z.B. nach oben abgewichen und Messung ergibt \(Y=0.7\). Hast du jetzt irgendeine Ahnung, ob \(X\) über oder unter seinem EW liegt? Also kannst du mir irgendwie sagen, ob \(X=0.7\) oder \(X=-0.7\) war? Nein, das ist komplett 50/50, du hast keine Informationen dazugewonnen, die Variablen sind also intuitiv unkorreliert. Du kannst die Kovarianz auch gerne ausrechnen, es gilt \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\).
