stochastische Abhängigkeit?

Question

Aufgabe:

60 von 400 Schüler rauchen. Jeder fünfte Raucher besteht Mathe. Insgesamt haben 160 die Prüfung in Mathe bestanden.

R: Raucht

M: Mathe bestanden

1.stochastisch abhängig?

2. jemand raucht nicht. Welche Wahrscheinlichkeit die Prüfung zu bestehen?

Problem/Ansatz:

Wie beantwortet man die Fragen?

Answer 1

Vierfeldertafel:

	\(M\)	\(\overline{M}\)
\(R\)	\(\frac{1}{5}\cdot 60\)		\(60\)
\(\overline{R}\)
	\(160\)		\(400\)

1.stochastisch abhängig?

Stochastische Abhängigkeit liegt vor, wenn \(P(M\cap R) \neq P(M)\cdot P(R)\) ist.

2. jemand raucht nicht. Welche Wahrscheinlichkeit die Prüfung zu bestehen?

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{R}}(M)\). Laut Formel für die Bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(P_{\overline{R}}(M) = \frac{P\left(\overline{R}\cap M\right)}{P\left(\overline{R}\right)}\).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir stellen die Informationen aus dem Text in einer kleinen Tabelle dar:$$\begin{array}{l|rr|r} & \text{Raucher} & \text{NichtRaucher} & \text{Summe}\\\hline\text{MatheBesteher} & \frac15\cdot60 & . & 160\\\text{MatheDurchfaller} & . & . & .\\\hline\text{Summe} & 60 & . & 400\end{array}$$

Wir rechnen den Wert links oben aus und füllen die Tabelle durch Addition / Subtraktion auf:$$\begin{array}{l|rr|r} & \text{Raucher} & \text{NichtRaucher} & \text{Summe}\\\hline\text{MatheBesteher} & 12 & 148 & 160\\\text{MatheDurchfaller} & 48 & 192 & 240\\\hline\text{Summe} & 60 & 340 & 400\end{array}$$

zu 1) Stochastische Abhängigkeit

Wahrscheinlichkeit, dass einer der 400 raucht: \(\quad p(R)=\frac{60}{400}=\frac{3}{20}\)

Wahrscheinlichkeit, dass einer der 400 besteht: \(\quad p(M)=\frac{160}{400}=\frac{2}{5}\)

Wahrscheinlichkeit, dass einer der 400 raucht und besteht: \(\quad p(M\cap R)=\frac{12}{400}=\frac{3}{100}\)

Bei stochastischer Unabhängigkeit müsste gelten:$$p(M\cap R)\stackrel?=p(M)\cdot p(R)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{20}=\frac{6}{100}\ne\frac{3}{100}\quad\text{Widerspruch}$$Die Ereignisse \(M\) und \(R\) sind stochastisch abhängig.

zu 2) Jemand raucht nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?$$p(M\,|\,\overline R)=\frac{p(M\cap\overline R)}{p(\overline R)}=\frac{148}{340}=\frac{37}{85}\approx43,53\%$$