Algebra // Denkanstoß wird benötigt

Question

Hallo, neues Semester neues Modul → neue Fragen. Kann mich hier jemand in die richtige Richtung schupsen? Habe folgende Aufgabe für die ich einmal einen Denkanstoß benötige.

Aufgabe (Disjunkte Vereinigungen und Ringe):
Seien M₁,M₂ ⊂ Rⁿ zwei disjunkte (d.h. M₁ ∩ M₂ = ∅), kompakte Teilmengen und M = M₁ ∪ M₂ die Vereinigung.

1. Erklären Sie kurz, was stetige Funktionen auf M mit stetigen Funktionen auf M₁, M₂ zu tun haben. Finden Sie damit eine einfache Methode, wie Sie den Ring C_M := { f : M → R | f stetig }  der stetigen Funktionen auf M aus den Ringen C_M1 ,C_M2 konstruieren können.

2. Zeigen Sie, dass es in C_M nicht konstante Funktionen f gibt, welche die Gleichung f² = f erfüllen.

3. Zeigen Sie, dass sich eine kompakte Teilmenge N ⊂ Rⁿ genau dann als disjunkte Vereinigung N = N₁ ∪ N₂ von zwei nicht-leeren abgeschlossenen Teilmengen N_i ⊊ N schreiben lässt, wenn es in C_N ∖ {0} Elemente e₁, e₂ gibt, für die e_i² = e_i und e₁ + e₂ ≡ 1 gilt.

Lediglich für Nr. 1 habe ich/wir folgende Idee: C_M := { f+g | f ∈ C_M1, g ∈ C_M2 }  für 2. und 3. fällt mir leider nichts ein. Ich freue mich über jede Hilfe.

Answer 1

Zu f ∈ C_M1 und g ∈ C_M2 definieren wir h ∈ C(M) durch h(m) = f(m) für m ∈ C_M1 und h(m) = g(m) im zweiten Fall; ich würde die Funktion aber nicht f+g nennen.

Es soll f²(m) = f(m)² = f(m) gelten, dh. für f(m) gibt es nur die Möglichkeiten 0 und 1, dann setzen wir f(m) = 0 bzw. f(m) = 1, je nach dem, in welcher der N unser m liegt.

Die Funktion e₁ soll stetig sein und kann nur die Werte 0 und 1 annehmen, aber e₁ ≠ 0, dann ist sie konstant gleich 1. Dann geht aber e₁ + e₂ =1 nicht.