Teilring, Intigritätsring und co

Question

Sei R[x] die Menge aller polynome mit reellen Koeffizienten gegeben. Dann zeige S = {f  | f(0) rational} Teilmenge R[x] ist ein Teilring. wie macht man das?

wichtiger!:

übrigens, R[x] ist ja ein Intigritätsring. Ist es dann auch S als Teilring ?

Answer 1

Hallo Paul S,

zum Nachweis, dass S ein Teilring von R[x] ist, schlage ich folgende Schritte vor:

1. Nachschlagen und hier posten, wie ihr den Begriff Teilring definiert habt.

2. Ausformulieren und hier posten, was es bedeutet, dass S ein Teilring von R[X] ist.

3. Die unter 2. ausformulierten Eigenschaften nacheinander nachweisen.

Wie weit kommst du? Mit dieser Info kann man gezielt weiterhelfen.

Der Ring S ist in der Tat ein Integritätsring.

Wenn bei euch Ringe grundsätzlich ein Einselement enthalten (hier gibt es unterschiedliche Varianten des Ring-Begriffs), sind Teilringe U von Integritätsringen T in der Tat wieder Integritätsringe. (Ansonsten muss man fordern, dass U vom Nullring verschieden ist und ein Einselement enthält.)

Auch hier lauten die drei Schritte zum Nachweis:

1. Nachschlagen und hier posten, wie ihr den Begriff Integritätsring definiert habt.

2. Ausformulieren und hier posten, was es bedeutet, dass U ein Integritätsring ist.

3. Die unter 2. ausformulierten Eigenschaften nacheinander nachweisen.

Wie weit kommst du hier? Auch hier helfe ich gerne weiter, wenn es irgendwo hakt.

Viele Grüße, Tobias

Answer 2

Bedenke, dass für \(f,g\in R[x]\) gilt:

\((f+g)(0) = f(0) + g(0)\) und \((f\cdot g)(0) =f(0)\cdot g(0)\)

Nun sind \(f(0),g(0) \in \mathbb Q\) und \(\mathbb Q\) ist ein Ring.

Kommst du damit weiter?