Teilring und Nullstellen zeigen

Question

ich sitze zurzeit vor dieser Aufgabe, allerdings habe ich schon ein Problem beim ersten Aufgabenteil. Könnten Sie mir bitte einen Ansatz geben, damit ich mit dieser Aufgabe fortsetzen kann.Danke

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Bei 1) ist eben nachzurechnen, dass R ein Ring ist. Dazu sind die Ringaxiome als gultig nachzuweisen, guckst Du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#Ring

Die Rechenregeln bzgl. + und * uebertragen sich von der Oberstruktur; die brauchst Du nicht noch mal zu untersuchen. Es bleibt der Rest:

a) + und * muessen Verknuepfungen auf R sein.

b) 0 muss in R liegen und mit r auch -r.

Answer 1

 3) Matrizenmultiplikation solltest du können, sonst kannst du es gleich vergessen :-)

  \(\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\)*  \(\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a\end{pmatrix}\)²  +   \(\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\) =   \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\)

⇔   \(\begin{pmatrix} a^2-b^2+1&-2ab\\ 2ab&a^2-b^2+1\end{pmatrix}\) =  \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\)

2ab = 0     ->  a=0 oder b=0

mit  a² -b² +1 = 0     ->  (a|b) =  (0|1), (0|-1)   (EDiT: 2 falsche Nullstellen gelöscht)

Nullstellen:    \(\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}\) ,  \(\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0\end{pmatrix}\) 

4)

Hier ergeben sich rein rechnerisch die gleichen Nullstellen mit  ±√2  statt  ±1,

wegen √2 ∉ ℤ also keine Nullstellen  ∈ M^2x2(ℤ)

Gruß Wolfgang

 

Comments

Vier Nullstellen sind zwei zu viel, weil ja \(R\simeq\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}\) ist.

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und bei 2 wäre es dann so, dass ich die beiden Funktionen addiere und dann für das X die Matrix von R einsetze?

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also würden von den 4 Nullstellen nur die 1. und 2. stimmen?

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Ja, habe gepennt. Bei den beiden letzten (oben wegeditiert!)  hätte statt ±1  ± i ∉ ℤ stehen müssen.

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vielen Dank für die Hilfe