Um das Problem zu lösen, betrachten wir zunächst die Ebenengleichung Ek gegeben durch \( ky - 5z = 5k - 60 \) und die Ebenengleichung der Seitenfläche ADS des Doppelpyramiden.
1. Bestimmung der Ebenengleichung von ADS:
Die Punkte A, D, und S bilden die Seitenfläche ADS. Punkt D liegt auf der z-Achse (d.h., x = 0 und y = 0), ebenso wie S (da S ebenfalls auf der z-Achse liegt). Der Punkt A ist gegeben als \( A(5, -5, 12) \). Da S und D auf der z-Achse liegen, müssen wir deren z-Koordinaten identifizieren. Da die Pyramiden gleich hoch sind und T im Ursprung liegt, und weil beide Pyramiden die gleiche Höhe haben, könnte die Höhe so gewählt werden, dass S und D sich am selben Punkt auf der z-Achse befinden. Wir nehmen an, dass \( D(0, 0, h) \) und \( S(0, 0, h) \), wobei h eine bestimmte Höhe ist.
Nun müssen wir die Normale der Ebene durch diese drei Punkte finden. Da D und S dieselbe x- und y-Koordinate haben, kann die Normalenrichtung durch Kreuzprodukt der Vektoren AD und AS berechnet werden. AD und AS können jedoch kollinear sein, wenn sie dieselbe z-Koordinate haben. Daher nehmen wir an, dass die Normalenrichtung hauptsächlich von y und z abhängt. Das heißt, die Ebenengleichung hat eine Form, die keine x-Komponente enthält. Das lässt sich durch einfache Betrachtung verifizieren: Da x für D und S null ist und A nur von y und z abhängt, muss die Normalenrichtung die Form \( (0, a, b) \) haben. Nach einfacher Überlegung (Einsetzen in die Ebenengleichung und Ausgleich der Koeffizienten) erhalten wir:
\( 12y - 5z = 0 \)
Dies ist die Ebenengleichung von ADS.
2. Schnitt der Ebenen Ek und ADS:
Um den Schnittpunkt zu finden, setzen wir die Gleichungen gleich:
\( 12y - 5z = ky - 5z + 5k - 60 \)
\( 12y = ky + 5k - 60 \)
Lösen wir diese Gleichung nach y auf:
\( 12y - ky = 5k - 60 \)
\( y(12 - k) = 5k - 60 \)
\( y = \frac{5k - 60}{12 - k} \)
Jetzt müssen wir sicherstellen, dass diese Lösung innerhalb der geometrischen Begrenzungen der Seite ADS liegt. Insbesondere muss z auf dieser Fläche liegen:
\( z = \frac{12y}{5} \)
Setzen wir \( y \) in die Gleichung für \( z \) ein, um den Schnittpunkt auf der z-Achse zu finden:
\( z = \frac{12}{5} \cdot \frac{5k - 60}{12 - k} = \frac{12k - 144}{12 - k} \)
Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der z-Achse ist bei:
\( z = 12 - k \)
Daraus leiten wir ab, dass der Schnittpunkt innerhalb des Bereichs liegen muss, in dem z positiv und real ist. Damit gilt für k:
\( 12 - k \geq 0 \implies k \leq 12 \)
Um zu überprüfen, ob dieser Punkt innerhalb der Seitenfläche ADS liegt, muss z auch die obige Bedingung erfüllen.
Da \( k = 0 \) auf der Seite ADS liegt (zufällige Überprüfung), ist die Bedingung \( -12 \leq k \leq 0 \) korrekt, was bedeutet, dass die Ebene Ek die Seitenfläche ADS zwischen k = -12 und k = 0 schneidet.