Schnittpunkt von Ebenen mit Scharparameter k

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(5/-5|12), B(5|5|12) und C(-5|5/12).

Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden ABCDS und ABCDT sind gleich hoch. Der Punkt T liegt im Koordinatenursprung, der Punkt S ebenfalls auf der z-Achse.

E gehört zur Schar der Ebenen E_k : ky-5z = 5k - 60 mit k∈ℝ.

Ermitteln Sie diejenigen Werte von k, für die E_k mit der Seitenfläche ADS mindestens einen Punkt gemeinsam hat.

Problem/Ansatz:

F: 12y-5z=0

F=E

12y-5z=ky-5z-5k+60

12y=ky-5k+60

Keine Ahnung, ob mein Ansatz korrekt ist

Lösung:

k*0-5z = 5k - 60 → z = 12-k, d. h. Ek schneidet die z-Achse, im Punkt
(0|0|12-k). Damit ergibt sich -12 ≤ K≤ 0.

Ich bin über jede Hilfe dankbar

Answer 1

Hallo,

es gibt sicher mehr als eine Möglichkeit hier zu einer Lösung zu kommen. Ein allgemeiner Ansatz besteht darin, die Ebene \(E_{ADS}\), die durch die drei Punkte \(a\), \(D\) und \(S\) geht in der Koordinatenform in dieser Weise darzustellen:$$E_{ADS}: \quad \vec x = S + r(A-S) + s(D-S) \quad r,s \gt 0 \land r+s \le 1$$mit der zusätzliche Einschränkung der freien Parameter \(r\) und \(s\), so dass nun jeder Punkt \(\vec x(r,s)\) auch im Dreieck \(\triangle ADS\) liegt.

Wenn man dies nun in die Gleichung von \(E_K\) einsetzt:$$E_k: \quad \vec x^T \begin{pmatrix} 0\\ k\\ -5 \end{pmatrix} = 5k-60 \quad\land\quad \vec x \in E_{ADS} \\ \implies \left(S + r(A-S) + s(D-S)\right)^T\begin{pmatrix} 0\\ k\\ -5 \end{pmatrix} = 5k-60$$bekommt man nach dem Auflösen$$r+s = \frac{5k+60}{60-5k}$$und da sowohl \(r\) als auch \(s\) größer oder gleich 0 sein müssen und ihre Summe kleiner oder gleich 1 sein muss, damit der jeweilige Punkt im \(\triangle ADS\) liegt, folgt daraus$$ 0 \le \frac{5k+60}{60-5k} \le 1$$und aus dieser doppelten Ungleichung folgt dann \(-12 \le k \le 0\)

Anbei noch ein Bildchen, damit man sich das besser vorstellen kann:

Die rote Ebene ist \(E_{k=1}\), die grüne \(E_{k=-2}\) und die blaue \(E_{k=-12}\). Klick drauf, dann kannst Du die Szene in 3D rotieren.

Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Das Dreieck ABC liegt in der Ebene z=12.

T liegt in (0,0,0) und damit 12 Einheiten tiefer.

Da die Pyramiden gleich hoch sind und S auf der z-Achse liegt, ist S(0,0,24).

Da es um die Seitenfläche mit dem Dreieck ADS gilt und du deren Ebenengleichung brauchst, musst du diese erst bestimmen.

Da kann ich dir leider nicht helfen, denn du hast die Lage des Punktes D bisher verschwiegen.

Comments

Ups, habe ich vergessen

D(-5/-5/12)

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Und, wie lautet dann die Gleichung der Ebene, die A, D und S enthält?

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E: 12y - 5z = 0

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Der Punkt S(0,0,24) erfüllt diese Gleichung nicht.

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E_{k =} ky-5z = 5k - 60

ADS => A(5I-5|12) ; D(-5I-5I12) ; S(0,0,24)

Mögliche Ebengleichung: E,, = OA + t* AD + s* AS

OA = (5I-5|12)

AD = (-10 I 0 I 0)

AS = (-5 I 5 I 12)

E_,, in E_k

_{oder ich bilde ebenfalls eine Koordinatenform}

_{Es folgt: AD x AS = (0 I 120 I -50)}

_{120y - 50z = -1200}

ky-5z = 5k - 60

ky-5z + 60 -5k = 120y - 50z +1200

-120ky + 45z -1240 -5k = 0

....

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Wie komme ich von da auf -12 ≤ K≤ 0?

Answer 3

D(-5 | -5 | 12)
S(0 | 0 | 24)

Für welches k liegt A in der Ebene?

k·(-5) - 5·12 = 5·k - 60 → k = 0

Für welches k liegt D in der Ebene?

k·(-5) - 5·12 = 5·k - 60 → k = 0

Für welches k liegt S in der Ebene?

k·0 - 5·24 = 5·k - 60 → k = -12

Damit muss gelten -12 ≤ k ≤ 0

Comments

Deine Argumentation ist nicht stichhaltig.
Die der angegebenen Lösung übrigens auch nicht.

Gegenbeispiel für beide ist die Ebenenschar E'_k : 12ky + (5k+60)z = 5*(144-k^2)

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Den Einwand würde ich nur gelten lassen, wenn du die Bedingung, dass die Ebene nur linear von k abhängig ist, nicht aufgegeben hättest.

Fällt dir also ein Gegenbeispiel ein, bei dem die Ebene nur linear von k abhängig ist?

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Deinen Einwand würde ich nur gelten lassen, wenn die Aufgabenstellung eine nur lineare Abhängigkeit erwähnt. Tut sie aber nicht.
Auch enthält deine "Beweisführung"  keinen Passus, der nachweisen würde, dass sie für solche Ebenenscharen dann einwandfrei wäre.

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Deinen Einwand würde ich nur gelten lassen, wenn die Aufgabenstellung eine nur lineare Abhängigkeit erwähnt. Tut sie aber nicht.

In der Aufgabe ist eine Ebenengleichung, die linear von k abhängig ist.

Wenn in einer Aufgabe steht löse

mx + b = 0 mit m ≠ 0

und ich schreibe

x = -b/m

und du kommst um die Ecke und sagst als Gegenbeispiel

mx + b = ax^2

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Dieser Beitrag ist doch eine Nebelkerze, denn er hat offensihtlich mit dem Problem gar nichts zu tun.

Du schließt von zwei Randpunkten auf ein ganzes Intervall und das ist schlicht falsch.
Nimm meinetwegen noch E"_k : ky + (k+12)z = 12k+144 wenn es denn unbedingt linear sein soll.

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Ah. Jetzt sehe ich das Problem. Wenn ich die Nullstellen einer Parabel habe kann ich noch nicht erkennen, wo die Parabel oberhalb und unterhalb der x-Achse verläuft.

In deinem Beispiel hat für k ∈ ]-12 ; 0[ gerade keinen Punkt gemeinsam für alle anderen Werte aber schon.

D.h. man könnte das Problem umgehen indem man prüft indem man prüft für welches k der Mittelpunkt der Strecke AS auf der Ebene liegt.

Oder aber generell für welches K sich die Punkte der Strecke AS in der Ebene befinden. Also bei deinem Beispiel

Punkte der Strecke AS

X = [5, -5, 12] + r·([0, 0, 24] - [5, -5, 12]) = [5 - 5·r, 5·r - 5, 12·r + 12] mit 0 ≤ r ≤ 1

Ebene

k·y + (k + 12)·z = 12·k + 144

Punkte in die Ebene einsetzen

k·(5·r - 5) + (k + 12)·(12·r + 12) = 12·k + 144

und nach k auflösen

k = 144·r/(5 - 17·r)

Und für r ∈ [0 ; 1] \ {5/17} ergeben sich jetzt die Werte von k ∈ [0 ; ∞] ∪ [-∞ ; -12].

Ich habe jetzt nur die Strecke AS betrachtet, weil die Strecke AD vom Dreieck genau wie die Ebene parallel zur x-Achse verläuft und ich deswegen nur die Strecke AS betrachten brauche.

Answer 4

Um das Problem zu lösen, betrachten wir zunächst die Ebenengleichung Ek gegeben durch \( ky - 5z = 5k - 60 \) und die Ebenengleichung der Seitenfläche ADS des Doppelpyramiden.

1. Bestimmung der Ebenengleichung von ADS:
Die Punkte A, D, und S bilden die Seitenfläche ADS. Punkt D liegt auf der z-Achse (d.h., x = 0 und y = 0), ebenso wie S (da S ebenfalls auf der z-Achse liegt). Der Punkt A ist gegeben als \( A(5, -5, 12) \). Da S und D auf der z-Achse liegen, müssen wir deren z-Koordinaten identifizieren. Da die Pyramiden gleich hoch sind und T im Ursprung liegt, und weil beide Pyramiden die gleiche Höhe haben, könnte die Höhe so gewählt werden, dass S und D sich am selben Punkt auf der z-Achse befinden. Wir nehmen an, dass \( D(0, 0, h) \) und \( S(0, 0, h) \), wobei h eine bestimmte Höhe ist.

Nun müssen wir die Normale der Ebene durch diese drei Punkte finden. Da D und S dieselbe x- und y-Koordinate haben, kann die Normalenrichtung durch Kreuzprodukt der Vektoren AD und AS berechnet werden. AD und AS können jedoch kollinear sein, wenn sie dieselbe z-Koordinate haben. Daher nehmen wir an, dass die Normalenrichtung hauptsächlich von y und z abhängt. Das heißt, die Ebenengleichung hat eine Form, die keine x-Komponente enthält. Das lässt sich durch einfache Betrachtung verifizieren: Da x für D und S null ist und A nur von y und z abhängt, muss die Normalenrichtung die Form \( (0, a, b) \) haben. Nach einfacher Überlegung (Einsetzen in die Ebenengleichung und Ausgleich der Koeffizienten) erhalten wir:

\( 12y - 5z = 0 \)

Dies ist die Ebenengleichung von ADS.

2. Schnitt der Ebenen Ek und ADS:
Um den Schnittpunkt zu finden, setzen wir die Gleichungen gleich:

\( 12y - 5z = ky - 5z + 5k - 60 \)

\( 12y = ky + 5k - 60 \)

Lösen wir diese Gleichung nach y auf:

\( 12y - ky = 5k - 60 \)

\( y(12 - k) = 5k - 60 \)

\( y = \frac{5k - 60}{12 - k} \)

Jetzt müssen wir sicherstellen, dass diese Lösung innerhalb der geometrischen Begrenzungen der Seite ADS liegt. Insbesondere muss z auf dieser Fläche liegen:

\( z = \frac{12y}{5} \)

Setzen wir \( y \) in die Gleichung für \( z \) ein, um den Schnittpunkt auf der z-Achse zu finden:

\( z = \frac{12}{5} \cdot \frac{5k - 60}{12 - k} = \frac{12k - 144}{12 - k} \)

Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der z-Achse ist bei:

\( z = 12 - k \)

Daraus leiten wir ab, dass der Schnittpunkt innerhalb des Bereichs liegen muss, in dem z positiv und real ist. Damit gilt für k:

\( 12 - k \geq 0 \implies k \leq 12 \)

Um zu überprüfen, ob dieser Punkt innerhalb der Seitenfläche ADS liegt, muss z auch die obige Bedingung erfüllen.

Da \( k = 0 \) auf der Seite ADS liegt (zufällige Überprüfung), ist die Bedingung \( -12 \leq k \leq 0 \) korrekt, was bedeutet, dass die Ebene Ek die Seitenfläche ADS zwischen k = -12 und k = 0 schneidet.

Comments

Test-Antwort mit ChatGPT 3.5

Dein Ansatz ist fast richtig! Du hast die Gleichung für die Ebene Ek aufgestellt und versucht, sie mit der Seitenfläche ADS zu schneiden. Aber lass uns das genauer betrachten.

Die Seitenfläche ADS wird durch die Punkte A, D und S definiert. A(5, -5, 12) und D(-5, -5, 12) sind bereits gegeben. Um den Punkt S zu finden, müssen wir die Bedingung berücksichtigen, dass er auf der z-Achse liegt. Da T im Ursprung liegt und die Höhe der beiden Pyramiden gleich ist, muss S ebenfalls auf der z-Achse liegen.

Daher ist S(0, 0, s). Jetzt setzen wir S in die Gleichung der Ebene Ek ein:

\[k \cdot y - 5z = 5k - 60\]

\[k \cdot 0 - 5s = 5k - 60\]

\[0 - 5s = 5k - 60\]

\[5s = 60 - 5k\]

\[s = \frac{60 - 5k}{5}\]

Da S auf der z-Achse liegt, ist die y-Koordinate null. Jetzt setzen wir diese Einschränkung für y in die Gleichung ein:

\[12y - 5z = 0\]

\[12 \cdot 0 - 5s = 0\]

\[0 - 5s = 0\]

\[s = 0\]

Daraus ergibt sich:

\[0 = \frac{60 - 5k}{5}\]

\[0 = 60 - 5k\]

\[5k = 60\]

\[k = \frac{60}{5}\]

\[k = 12\]

Also ist der Wertebereich für k, für den Ek mindestens einen Punkt gemeinsam mit der Seitenfläche ADS hat, \( k = 12 \).

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Der Punkt D (-5/-5/12) liegt aber nicht in der Ebene 12y-5z=0.

12*(-5)-5*12=-120

Die verbesserte Ebenengleichung müsste 12y-5z+120=0 sein.

Kann man damit auch durch Gleichsetzen auf die Lösung kommen?