Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von K_{f} .

Question

Aufgabe:Klassenarbeit Mathematik Nr. 3
BK 2-2
15.03.2023
Name: Venothan

Achten Sie auf eine saubere und übersichtliche Darstellung. Der Rechenweg muss nachvollziehbar sein. Runden Sie, falls erforderlich und in der Aufgabe nicht anders verlangt, auf zwei Nachkommastellen.

Hilfsmittel (WTR und Merkhilfe) zulässig - ca. 50 min

Aufgabe 3: (7 Punkte)
Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}, x \in I R \). Das Schaubild ist \( K_{f} \).
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von \( K_{f} \).
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in \( \mathrm{P}(-1 \mid f(-1)) \).

Aufgabe 4: (4 Punkte)
Gegeben ist die Funktion g mit \( g(x)=e^{2 x}-2, x \in I R \).
a) Zeigen Sie, dass \( g \) monoton wachsend für alle \( x \in \mathbb{R} \) ist.
b) Bestimmen Sie die Steigung im Schnittpunkt mit der \( y \)-Achse.

Aufgabe 5: (4 Punkte)
Gegeben ist die Funktion \( h \) mit \( h(x)=-x^{3}+4 x+2, x \in I R \). Das Schaubild von \( h \) heißt \( K_{h} \). Bestimmen Sie den Bereich, indem \( K_{h} \) rechtsgekrümmt ist.

Aufgabe 6: (5 Punkte)
a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-4, x \in I R \) für das Intervall \( I=[-3 ; 2] \).
b) Eine Funktion g mit \( g(t)=500-300 e^{-0,036 t} ; t \geq 0 \) beschreibt die Population von Mäusen in Abhängigkeit von der Zeit \( t(t=0 \) : Beginn der Messung; \( t \) in Jahren). Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall \( [2 ; 10] \) ? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Viel Erfolg!

Problem/Ansatz:

rechnen

Comments

Welche konkrete Frage zu welcher Aufgabe hast du?

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Alle Aufgaben bearbeiten.

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Deine Eigenleistung? Wo ist dein Problem?

3a) f '(x) =0

f '(x)= x^3+x^2+2x

Ergebnis in f(x) einsetzen und die y-Koordinate zu berechnen.

b) t(x) = (x+1)*f '(-1) + f(-1)

Setze ein!

Leg los!

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Brauche die Lösung der ganzen Aufgaben denn ich möchte meine Ergebnisse vergleichen und kontrollieren.

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Da sind wir doch beim Punkt! Du HAST also Ergebnisse! Stelle sie doch einfach mal vor, und wir schauen drüber.

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Text erkannt:

Autgabe 3
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{3} x^{3}-x^{2} \\ f^{\prime}(x)=x^{3}+x^{2}-2 x \\ f^{\prime \prime}(x)=3 x^{2}+2 x-2 \\ f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 \end{array} \)
a) Hochpunkte + Tiefpunkte: \( f^{\prime}(x)=0 \)
\( \begin{array}{l} f^{\prime}(x)=x^{3}+x^{2}-2 x \\ 0=x^{3}+x^{2}-2 x \\ 0=x\left(x^{2}+x-2\right) \\ \ell \\ x_{1}=0 \quad x^{2}+x-2=0 \end{array} \)
\( \checkmark \)
\( \begin{array}{l} x_{2,3}=\frac{-b \pm \sqrt{\left(b^{2}-4 a c\right)}}{2 a} \\ x_{2,3}=\frac{-1 \pm \sqrt[5]{\left(1^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2\right)}}{2 \cdot 1} \\ x_{2,3}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} \\ x_{2,3}=\frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x_{2,3}=\frac{-1 \pm 3}{2} \\ x_{2}=\frac{-1+3}{2}=1 \\ x_{3}=\frac{-1-3}{2}=-2 \end{array} \)

Text erkannt:

Nechues:
\( \begin{array}{l} f^{\prime \prime}(x)=3 x^{2}+2 x-2 \\ f^{\prime \prime}(0)=3 \cdot 0^{2}+2 \cdot 0-2 \\ f^{\prime \prime}(0)=-2 \quad(0 \quad R \quad \Rightarrow H P \end{array} \)
\( \begin{array}{l} f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^{2}+2 \cdot 1-2 \\ f^{\prime \prime}(1)=3>0 \quad 11=T P \end{array} \)
\( \begin{array}{l} f^{\prime}(-2)=3 \cdot(-2)^{2}+2 \cdot-2-2 \\ f^{\prime \prime}(-2)=-12<0 \text { ® }=H P \end{array} \)
\( \begin{array}{l} y \text {-werte: } \\ f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{3} x^{3}-x^{2} \\ f(0)=\frac{1}{4} \cdot 0^{4}+\frac{1}{3} \cdot 0^{3}-0^{2} \quad H P(0(0) \\ f(0)=0 \\ f(1)=\frac{1}{4} \cdot 1^{4}+\frac{1}{2} \cdot 1^{3}-1^{2} \\ f(1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1 \\ f(1)=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}-\frac{12}{12} \\ f(1)=\frac{3+4-12)}{12} \\ f(1)=\frac{-5}{12} \\ f(-2)=\frac{1}{4} \cdot-2^{4}+\frac{1}{3} \cdot(-2)^{3}-(-2)^{2} \\ f(-2)=\frac{-17}{3} \end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { b) } f^{\prime}(x)=\text { Steigung } \\ f^{\prime}(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}-2(-1) \\ f^{\prime}(-1)=-1+1-2 \\ f^{\prime}(-1)=2 \end{array} \)

Steigung von der Tangente an \( P(-1 \mid f(-1)) \) ist?
\( \begin{array}{ll} y=m x+b & \mid-2 \\ f(-1)=2+b & 1-2 \\ -\frac{13}{12}=2+b & \\ -\frac{13}{12}-2=b & \\ -\frac{37}{12}=b & \\ y=2 x-\frac{13}{12} \end{array} \)

Answer 1

\( f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}, x \in I R \)

Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte findest du,

indem du erst mal schaust für welche x-Werte die

erste Ableitung den Wert 0 hat, also löse

\( x^{3}+x^{2}-2x=0 \)

<=> \( x(x^{2}+x-2)=0 \)

<=>  x=0 oder (Die Klammer mit pq-Formel gibt noch) x=1 oder x=-2.

Dann an jeder dieser Stellen mit der 2. Ableitung schauen,

ob dort ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt und

mit f(0) und f(1) und f(-1) die y-Koordinaten bestimmen.

Comments

warum f(-1)? und nicht f(-2)?

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vertippt !   Da hast du gut aufgepasst -:)

Answer 2

Hallo,

\(f''(-2)=6\Rightarrow \text{Tiefpunkt}\) und \(f(-2)=-\frac{8}{3}\).

Steigung der Tangente und die y-Koordinate von P ist richtig, aber dann hast du dich bei einem Vorzeichen vertan:

\(-\frac{13}{12}=2\cdot(-1)+b\\ -\frac{13}{12}=-2+b\\ \frac{11}{12}=b\)

Gruß, Silvia

Comments

wie lautet somit die Tangentengleichung?

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So ähnlich wie deine, nur mit einem anderen "b" ;-)

\(y=2x+\frac{11}{12}\)