Nachweis Quadrat Vektoren

Question

Würde folgendes akzeptiert werden:

Vier Punkte können ermittelt werden. Angegeben sind zwei Punkte sowie ein Spiegelzentrum. Daraus kann einfach die Länge der Diagonalen ermittelt werden. Es soll nachgewiesen werden, dass die vier Punkte ein Quadrat bilden. Kann ich den Nachweis zeigen, indem ich den Betrag a einer Kante bilde und zeige, dass die Diagonale den Betrag sqrt(2)*a haben muss.

Answer 1

Hallo,

schon mal 'ne Skizze gemacht?

Ein Quadrat muss vier Bedingungen erfüllen:
1.) mindestens eine Diagonalen halbiert die andere
2.) es hat einen Umkreis
3.) es hat einen Inkreis
4.) mindestens zwei gegenüberliegen Seiten verlaufen parallel
Wegen der Spiegelung an \(Z\) sind die Bedingungen 1.) und 4.) automatisch erfüllt. Ein Umkreis liegt vor, wenn zusätzlich \(|ZA| = |ZB|\) ist und ein Inkreis ist vorhanden, wenn zusätzlich \(\vec{ZA} \perp \vec{ZB}\).
Ist dies erfüllt, so liegt ein Quadrat vor.

Comments

Man kommt hier doch auch mit zwei Bedingungen aus:

1) Alle Seiten sind gleich lang.

2) Je zwei benachbarte Seiten stehen senkrecht zueinander.

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Man kommt hier doch auch mit zwei Bedingungen aus:

was anderes habe ich ja nicht behauptet. Die zwei Bedingungen sind in diesem konkreten Fall: \(|ZA| = |ZB|\) und \(\vec{ZA} \perp \vec{ZB}\). Und das funktioniert ohne die Berechnung von \(A'\) und \(B'\).

Demgegenüber sind

1) Alle Seiten sind gleich lang.

schon drei Bedingungen.

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Demgegenüber sind

1) Alle Seiten sind gleich lang.
schon drei Bedingungen.

Auch wieder wahr. ;) Danke!

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Ja, dein Ansatz ist korrekt, um nachzuweisen, dass vier Punkte ein Quadrat bilden, unter der Annahme, dass du bereits gezeigt hast, dass alle Seiten gleich lang sind (jede Seite hat den Betrag \(a\)).

Hier sind die Schritte, die du für den vollständigen Beweis ausführen könntest:

1. Zeige, dass alle Seiten gleich lang sind: Bestimme den Abstand zwischen den gegebenen Punkten und zeige, dass jede Seite die Länge \(a\) hat.

2. Berechne die Länge der Diagonalen: Unter der Annahme, dass die Seiten des Vierecks gleich lang sind, kannst du die Länge der Diagonalen berechnen. Wenn die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) ein Quadrat bilden, sollte der Abstand zwischen den gegenüberliegenden Punkten (Diagonale) \(\sqrt{2} \times a\) sein, da in einem Quadrat die Diagonale durch die Beziehung \(d = a\sqrt{2}\) (wobei \(d\) die Länge der Diagonalen und \(a\) die Länge einer Seite ist) bestimmt wird.

3. Überprüfe die Winkel zwischen den Seiten: Um sicherzustellen, dass es sich tatsächlich um ein Quadrat handelt, kannst du auch überprüfen, ob die Winkel zwischen den Seiten \(90^\circ\) betragen. Dies kann durch die Berechnung des Skalarprodukts der Vektoren erfolgen, die die Seiten des Vierecks darstellen. Für zwei senkrecht zueinander stehende Vektoren ist das Skalarprodukt Null.

Wenn du sowohl die Gleichheit der Seitenlängen, die Länge der Diagonalen sowie die rechten Winkel zwischen den Seiten bestätigen kannst, dann hast du erfolgreich nachgewiesen, dass die vier Punkte ein Quadrat bilden.

Answer 3

Aus der Realschule kennt man die folgenden Bedingungen für ein Quadrat:

Die Diagonalen sind gleich lang, halbieren gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander.

Daraus folgt direkt für deine Punkte A, B und dem Spiegelzentrum M

Die Strecken MA und MB sind gleich lang

MA = MB

und stehen senkrecht aufeinander

MA ⊥ MB