Wie beweise ich diese Ungleichung?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Problem/Ansatz: z und c sind komplex. Bekomme die Ungleichung nicht gezeigt, habe wirklich alles was ich kann versucht und schon ca 4 stunden investiert. Für Hilfe wäre ich total dankbar!

Comments

Gelöscht, weil unnötig.

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Danke trotzdem, falls dir was einfällt, egal wie klein der tipp, immer gerne

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Text erkannt:

Aus \( |z|>1+|c| \) folgt, dass \( \left|p_{c}(z)\right|=|z|\left|z+\frac{c}{z}\right|>|z| \frac{1+|c|+\left|c^{2}\right|}{1+|c|} \).

Answer 1

Es gilt

\( |z|\left|z+\frac{c}{z}\right|>|z| \frac{1+|c|+\left|c^{2}\right|}{1+|c|} \) genau dann, wenn auch

\( \left|z+\frac{c}{z}\right|> \frac{1+|c|+\left|c^{2}\right|}{1+|c|} \) gilt,

\(\frac{1+|c|+\left|c^{2}\right|}{1+|c|} \) lässt sich schreiben als \(1+\frac{\left|c^{2}\right|}{1+|c|} \), damit wird aus der vorherigen Zeile

\( \left|z+\frac{c}{z}\right|> 1+\frac{\left|c^{2}\right|}{1+|c|} \) .

Wegen \( |z|>1+|c| \) müsste dann auch

\( \left|z+\frac{c}{z}\right|> 1+\frac{\left|c^{2}\right|}{|z|} \)  gelten.

Kommst du damit weiter?