Symmetrie einer Funktion mit Logarithmus. f(x)= lg((1+x)/(1-x))

Question

folgende Funktion soll daraufhin untersucht werden, ob sie gerade oder ungerade ist:

$$ f(x)=lg\frac { 1+x }{ 1-x }  $$

Der Lösungsweg vom Aufgabensteller liegt mir bereits vor, und zwar soll diese Funktion ungerade sein:

Bedingung: -f(x)=f(-x)

Lösungsweg:  $$ f(x)=lg\frac { 1+x }{ 1-x } \\

f(-x)=lg\frac { 1-x }{ 1+x }= -lg(\frac { 1+x }{ 1-x })^{-1}=-lg(\frac { 1+x }{ 1-x })= -f(x)$$

Wo kommt denn bei dem Schritt $$lg\frac { 1-x }{ 1+x }= -lg(\frac { 1+x }{ 1-x })^{-1}$$ plötzlich das Minus vor dem zweiten Term her? Das "Hoch Minus 1" ist klar. Das signalisiert ja einfach den Kehrwert des Bruches, also dass Zähler und Nenner getauscht werden müssen?! Aber wo kommt da das Minus vor dem Gesamtterm plötzlich her?

 

Answer 1

Hi,


ich erlaube mir das mal an einem einfacheren Beispiel zu zeigen:


lg(a) = 1*lg(a) = -1*(-1)*lg(a) = -1*lg(a^{-1}) = -lg(a^{-1})


wobei das Potenzgesetz: b*lg(a) = lg(a^b) verwendet wurde.


Alles klar?


Grüße

Comments

Dann handelt es sich in der Lösung aber um einen Schreibfehler, da trotz des Hoch Minus 1 ja Zähler und Nenner getauscht wurden?

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In der Tat. Die Vertauschung kommt erst durch die Anwendung des Exponenten -1 zustande.