Parabel + Gerade. Normalparabel p2 ist nach unten geöffnet und hat den Scheitel S2 (0/6).

Question

Die Normalparabel p₁ hat die Gleichung y = x² - 4x + 6. Die Normalparabel p₂ ist nach unten geöffnet und hat den Scheitel S₂ (0/6).

a) Durch die Schnittpunkte beider Parabeln verläuft die Gerade g. Bestimmen sie rechnerisch die Gleichung der Geraden.

b) Die Gerade bildet mit dem Koordinatensystem ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne sie die restlichen Innenwinkel und den Umfang dieses Dreiecks.

Answer 1

Somit hat p₂ die Scheitelpunktform:

a ( x - 0 ) ² + 6

wobei a = - 1 , weil p₂ eine nach unten geöffnete Normalparabel sein soll, also:

p₂ ( x ) = - x ² + 6

Die Schnittpunkte ermittelt man durch Gleichsetzen  der Funktionsterme:

x ² - 4 x + 6 = - x ² + 6

auflösen nach x:

<=> 2 x ² - 4 x = 0 

<=> x ² - 2 x  = 0

<=> x ( x - 2 ) = 0

=>

x₁ = 0 ,  x₂ = 2

Die y-Koordinaten erhält man durch einsetzen in eine der Parabelgleichungen (ich nehme die einfachere Gleichung für p₂):

p₂ ( x₁ ) = 6 

p₂ ( x₂ ) = 2

Die Schnittpunkte von p₁ und p₂ sind also:

S₁ ( x₁ | y₁ ) = ( 0 | 6 )
S₂ ( x₂ | y₂ ) = ( 2 | 2 )

 

Die Gleichung der durch diese Punkte verlaufenden Geraden g ermittelt man z.'B. indem man die Zwei-Punkte-Form

y = (  y₂ -  y₁ ) / ( (  x₂ -  x₁ ) * ( x - x₁) + y₁

anwendet. Man erhält:

g : y = ( 2 - 6 ) / ( 2 - 0 ) * ( x - 0 ) + 6

= - 2 x + 6

 

Der Innenwinkel alpha des Dreiecks ist gleich dem Winkel, den die Gerade g mit der x-Achse bildet. Wegen der negativen Steigung m = - 2 ergibt sich dieser zu:

alpha = - arctan ( - 2 ) ≈ 63,4 °

Somit beträgt die Geöße des Innenwinkels beta, des Dreiecks, der gleich dem Winkel ist, den die Gerade g mit der y-Achse bildet:

beta = 180 ° - 90 ° - 63,4 ° = 26,6 °

Der Umfang des Dreiecks ist gleich der Summe der Länge seiner Seiten. Die Längen der Katheten a bzw. b entsprechen den Abständen der Schnittpunkte der Geraden g mit der jeweiligen Achse vom Ursprung.

Der Schnittpunkt von g mit der x-Achse ergibt sich durch Nullsetzen der Geradengleichung g:

-2 x + 6 = 0

<=> 2 x = 6

<=> x = 3

Somit ist die Länge der Kathete a:

a = 3

Die Länge der Kathete b ist gleich dem y-Achsenabschnitt von g, also:

b = 6

Für die Länge der Hypotenuse c gilt nach Pythagoras:

c = √ ( 3 ² + 6 ² ) = √ 45

und somit beträgt der Umfang U des Dreiecks:

U = a + b + c

= 3 + 6 + √ 45

= 9 + √ ( 5 * 9 )

= 9 + 3 * √ 5

= 3 * ( 3 + √ 5 )

≈ 15,7 cm Längeneinheiten.