Funktion Rekonstruktion steckbrief

Question

Aufgabe:

Rekonstruktion von Funktionen

Problem/Ansatz:

Eine Funktion f dritten grades verläuft durch die Punkte (0/0), (2,6/ 0) und (0,5/2,46) und hat ein lokales minimum bei 2,6 Ermittle die Gleichung.

Ich habe dort das hier aufgeschrieben, um ein LGS aufzustellen: f(0)=0, f(2,6)=0, f(0,5)=2,46 und f'(2,6)=0

Das wäre mein LGS

l. 0= a×0³ +b×0² + c×0 + d Also ist mein d=0

ll. 0= a × 2,6³+b×2,6²+c× 2,6 +d

lll. 2,46= a× 0,5³ + b×0,5² + c× 0,5 + d

llll. 0= 3×a×2,6² + 2×b× 2,6 + c

Wie soll ich das abgesehen von der ersten Zeile lösen?

Answer 1

Da du schon d=0 weißt, kannst du d in den letzten drei Gleichungen weglassen.

Die letzten drei Gleichungen sind ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und drei Unbekannten.

Wenn du das darfst und dein Taschenrechner solche GS lösen kann, dann wähle diesen Weg.

Ohne Taschenrechner geht das Gaußverfahren.

Nachtrag:

Da 2,6 sowohl Nullstelle als auch Minimumstelle ist, ist 2,6 eine doppelte Nullstelle.

Dann kannst du den Ansatz f(x)=a*x*(x-2,6)² wählen und daraus a so bestimmen, dass f(0,5)=2,46 gilt.

Comments

Ich wollte das Gaußverfahren nehmen aber woher soll ich wissen wie man bei der dritten Zeile das a wegkriegen soll mithilfe der zweiten Zeile wenn bei der zweiten Zeile so ein komischer bruch rauskommt bei a 2197/125

Bei dem a der dritten Zeile kommt 1/8

---

Wenn du die zweite Zeile mit -1/8 multiplizierst und die dritte mit 2197/125, kannst du dann beide Zeilen addieren und a hebt sich auf.

Das funktioniert prinzipiell, der Rechenaufwand ist aber groß.

Siehe den Nachtrag in meiner Antwort.

---

Ich habe es mit dem TR probiert aber es klappt nicht.... Ich habe den Casio fx-991DEX und gehe auf Gleichungssysteme da gebe ich 4 unbekannte ein.

Dort steht dann 0x+0y+0z+0t=0 und das 4 mal untereinander wie soll ich da dann z.B die erste Zeile eintippen wo für d= 0 rauskommt kann ja nicht in der ersten Zeile überall 0 anklicken, da der TR sonst denkt, es wäre komplett 0 bitte genau erklären was ich in die Zeilen eintippen soll, die dort 4 mal gegeben sind.

---

Für d trägst du eine 1 ein.

---

Probiere es mal mit "2" für Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten statt mit "4" für Kubische Gleichung.

Answer 2

Eine Funktion f dritten grades verläuft durch die Punkte (0/0), (2,6/ 0) und (0,5/2,46) und hat ein lokales minimum bei 2,6 Ermittle die Gleichung.

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0) = 0
f(2.6) = 0
f'(2.6) = 0
f(0.5) = 2.46

Gleichungssystem

d = 0
2197/125·a + 169/25·b + 13/5·c + d = 0
507/25·a + 26/5·b + c = 0
1/8·a + 1/4·b + 1/2·c + d = 123/50

Errechnete Funktion

f(x) = 164/147·x^3 - 4264/735·x^2 + 27716/3675·x

Skizze

~plot~ 164/147x^3-4264/735x^2+27716/3675x ~plot~

Comments

Ein Lineares Gleichungssystem löst man z.B. mit dem Einsetzungsverfahren, hier für d, und dem Additionsverfahren bzw. Gauß-Verfahren.

---

Setzt man d = 0 in die restlichen Gleichungen ein erhält man

2197/125·a + 169/25·b + 13/5·c = 0
507/25·a + 26/5·b + c = 0
1/8·a + 1/4·b + 1/2·c = 123/50

Probier mal, ob du das mit dem TR lösen kannst.

Wenn dich Handschriftlich die Brüche stören, kannst du mit dem Hauptnenner multiplizieren.