Hallo,
Eine ganzrationale Funktion \( 2 . \) Grades \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) hat ein Extremum bei \( x=1 \) und schneidet die \( x \) -Achse bei \( x=4 \) mit der Steigung \( 3 . \) Wie lautet die Funktionsgleichung?
Der Wille, etwas vestehen zu wollen, erwächst in einem selbst, nicht DANACH auf dem Boden einer darauf angepassten Antwort. (Anton)
Damit will ich sagen, du kannst die Lösungen anklicken oder vorher versuchen, selbst die Antwort zu finden.
Eine ganzrationale Funktion 2. Grade und ihre Ableitung bildet man mit
$$f(x)=ax^2+bx+c\\f'(x)=2ax+b$$
Du hast drei Unbekannte a, b und c und brauchst daher auch drei Gleichungen.
Extremum bei x = 1
Eine Extremstelle liegt dann vor, wenn die 1. Ableitung an dieser Stelle = Steigung null ist.
Du setzt also den x-Wert in die 1. Ableitung ein, diese gleich null und löst nach x auf.
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$$f'(1)=0\Rightarrow 2a+b=0\\\text{1. Gleichung}$$
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schneidet die x-Achse bei x = 4
Schnittpunkte mit der x-Achse bezeichnet man als Nullstellen, in diesem Fall f (4) = 0
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$$f(4)=0\Rightarrow 16a+4b+c=0\\\text{2. Gleichung}$$
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schneidet die x-Achse bei x = 4 mit der Steigung 3
Ableitung = Steigung. Du setzt also in die 1. Ableitung für x die 4 und für f'(x) die 3 ein.
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$$f'(x)=4\Rightarrow 8a+b=3\\\text{3. Gleichung}$$
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Du hast jetz drei Gleichungen.
Du könntest beispielsweise die 1. Gleichung nach b umstellen und in die 3. Gleichung einsetzen, um a zu bestimmen. Anschließend die Ergebnisse für b und a in die 2. Gleichung einsetzen, um c zu ermitteln.
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$$2a+b=0\Rightarrow b=-2a\\8a-2a=3\Rightarrow a=0,5\\b=-2\cdot 0,5=-1\\ 16\cdot 0,5+4\cdot(-1)+c=0\\ \text{Lösung:}\\ f(x)=0,5x^2-x-4$$
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Wenn du noch Hilfe brauchst, bitte melden.
Gruß, Silvia
