Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W\((-\orange{2}|\red{6})\) die an der Stelle \(x=-\green{4}\) ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist gleich \(m=-\blue{12}\).
an der Stelle \(x=-\green{4}\) ein Maximum: Somit doppelte Nullstelle
\(f(x)=a(x+\green{4})^2(x-N)\)
\(f'(x)=a[2(x+4)(x-N)+(x+4)^2]\)
Steigung Wendetangente ist gleich \(m=-\blue{12}\).
W\((-\orange{2}|...)\)
\(f'(-2)=a[2(-2+4)(-2-N)+(-2+4)^2]\\=a (-4N-4)=-\blue{12}\)
\(a=\frac{-12}{-4N-4}=\frac{3}{N+1} \):
\(f'(x)=\frac{3}{N+1}[(2x+8)(x-N)+(x+4)^2]\)
\(f''(x)=\frac{3}{N+1}[2(x-N)+(2x+8)+2(x+4)]\)
Wendepunkteigenschaft W\((-\orange{2}|...)\)
\(f''(-2)=\frac{3}{N+1}[2(-2-N)+(-4+8)+2(-2+4)]=0\)
\(N=2\) : \(a=\frac{3}{2+1}=1 \):
\(f(x)=(x+4)^2(x-2)\)
Die Wendestelle liegt bei \(x=-\orange{2}\)
eingesetzt in \(f(x)=(x+4)^2(x-2)\):
\(f(-2)=(-2+4)^2(-2-2)=-16\)
Der y-Wert soll aber bei \(y=\red{6}\) liegen.
Somit muss \(f(x)=(x+4)^2(x-2)\) um 22 Einheiten nach oben verschoben werden:
\(p(x)=(x+4)^2(x-2)+22\)
Ich gebe beide Graphen in der Zeichnung ein.
