0 Daumen
698 Aufrufe

Aufgabe:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W(-2|6) die an der Stelle x=-4 ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist gleich -12.


Problem/Ansatz:

Kriege keine vernünftigen Gleichungsysteme hin .

Avatar von

Schreibe doch mal die Unvernünftigen hin.

3 Antworten

0 Daumen

f (x)=ax^3+bx^2+cx+d

f (-2)=6

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f'(-4)=0

f'(-2)=-12

f"(x)=6ax+2b

f"(-2)=0

4 Gleichungen, 4 Koeffizienten, das kann man lösen.

Avatar von 26 k
0 Daumen
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W\((-\orange{2}|\red{6})\) die an der Stelle \(x=-\green{4}\) ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist gleich \(m=-\blue{12}\).

an der Stelle \(x=-\green{4}\) ein Maximum: Somit doppelte Nullstelle
\(f(x)=a(x+\green{4})^2(x-N)\)
\(f'(x)=a[2(x+4)(x-N)+(x+4)^2]\)
Steigung Wendetangente ist gleich \(m=-\blue{12}\).
W\((-\orange{2}|...)\)
\(f'(-2)=a[2(-2+4)(-2-N)+(-2+4)^2]\\=a (-4N-4)=-\blue{12}\)
\(a=\frac{-12}{-4N-4}=\frac{3}{N+1} \):
\(f'(x)=\frac{3}{N+1}[(2x+8)(x-N)+(x+4)^2]\)
\(f''(x)=\frac{3}{N+1}[2(x-N)+(2x+8)+2(x+4)]\)
Wendepunkteigenschaft W\((-\orange{2}|...)\)
\(f''(-2)=\frac{3}{N+1}[2(-2-N)+(-4+8)+2(-2+4)]=0\)
\(N=2\) :   \(a=\frac{3}{2+1}=1 \):
\(f(x)=(x+4)^2(x-2)\)
Die Wendestelle liegt bei \(x=-\orange{2}\)

eingesetzt in \(f(x)=(x+4)^2(x-2)\):
\(f(-2)=(-2+4)^2(-2-2)=-16\)
Der y-Wert soll aber bei \(y=\red{6}\) liegen.

Somit muss \(f(x)=(x+4)^2(x-2)\) um 22 Einheiten nach oben verschoben werden:
\(p(x)=(x+4)^2(x-2)+22\)
Ich gebe beide Graphen in der Zeichnung ein.

Unbenannt.JPG

Avatar von 40 k
0 Daumen

Mit dem Ansatz$$\begin{aligned} f(x)&=a\cdot\left(x+2\right)^3-12\cdot\left(x+2\right)+6 \\ f'(x)&=3\cdot a\cdot\left(x+2\right)^2-12 \\ f''(x)&=6\cdot a\cdot\left(x+2\right) \\ \end{aligned}$$wird offensichtlich schon \(f(-2)=6\), \(f'(-2)=-12\) und \(f''(-2)=0\) erfüllt. Die Angaben zum Wendepunkt sind damit berücksichtigt. Aus \(f'(-4)=0\) folgt noch \(a=1\) und wegen \(f''(-4)=6\cdot 1\cdot\left(-4+2\right)=-12\lt0\) ist das lokale Extremum dort auch tatsäschlich ein Maximum. Eine mögliche Funktionsgleichung der Lösung lautet also: $$f(x)=\left(x+2\right)^3-12\cdot\left(x+2\right)+6$$

Avatar von 27 k

Schreib doch direkt die Lösung hin. Denkst du echt, dass ein normaler Oberstufenschüler erkennt, wie der Ansatz zustande kommt? Wohl kaum...

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community