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Aufgabe:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W(-2|6) die an der Stelle x=-4 ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist gleich -12.


Problem/Ansatz:

Kriege keine vernünftigen Gleichungsysteme hin .

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Schreibe doch mal die Unvernünftigen hin.

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f (x)=ax^3+bx^2+cx+d

f (-2)=6

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f'(-4)=0

f'(-2)=-12

f"(x)=6ax+2b

f"(-2)=0

4 Gleichungen, 4 Koeffizienten, das kann man lösen.

Avatar von 26 k
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Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W\((-\orange{2}|\red{6})\) die an der Stelle \(x=-\green{4}\) ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist gleich \(m=-\blue{12}\).

an der Stelle \(x=-\green{4}\) ein Maximum: Somit doppelte Nullstelle
\(f(x)=a(x+\green{4})^2(x-N)\)
\(f'(x)=a[2(x+4)(x-N)+(x+4)^2]\)
Steigung Wendetangente ist gleich \(m=-\blue{12}\).
W\((-\orange{2}|...)\)
\(f'(-2)=a[2(-2+4)(-2-N)+(-2+4)^2]\\=a (-4N-4)=-\blue{12}\)
\(a=\frac{-12}{-4N-4}=\frac{3}{N+1} \):
\(f'(x)=\frac{3}{N+1}[(2x+8)(x-N)+(x+4)^2]\)
\(f''(x)=\frac{3}{N+1}[2(x-N)+(2x+8)+2(x+4)]\)
Wendepunkteigenschaft W\((-\orange{2}|...)\)
\(f''(-2)=\frac{3}{N+1}[2(-2-N)+(-4+8)+2(-2+4)]=0\)
\(N=2\) :   \(a=\frac{3}{2+1}=1 \):
\(f(x)=(x+4)^2(x-2)\)
Die Wendestelle liegt bei \(x=-\orange{2}\)

eingesetzt in \(f(x)=(x+4)^2(x-2)\):
\(f(-2)=(-2+4)^2(-2-2)=-16\)
Der y-Wert soll aber bei \(y=\red{6}\) liegen.

Somit muss \(f(x)=(x+4)^2(x-2)\) um 22 Einheiten nach oben verschoben werden:
\(p(x)=(x+4)^2(x-2)+22\)
Ich gebe beide Graphen in der Zeichnung ein.

Unbenannt.JPG

Avatar von 40 k
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Mit dem Ansatz$$\begin{aligned} f(x)&=a\cdot\left(x+2\right)^3-12\cdot\left(x+2\right)+6 \\ f'(x)&=3\cdot a\cdot\left(x+2\right)^2-12 \\ f''(x)&=6\cdot a\cdot\left(x+2\right) \\ \end{aligned}$$wird offensichtlich schon \(f(-2)=6\), \(f'(-2)=-12\) und \(f''(-2)=0\) erfüllt. Die Angaben zum Wendepunkt sind damit berücksichtigt. Aus \(f'(-4)=0\) folgt noch \(a=1\) und wegen \(f''(-4)=6\cdot 1\cdot\left(-4+2\right)=-12\lt0\) ist das lokale Extremum dort auch tatsäschlich ein Maximum. Eine mögliche Funktionsgleichung der Lösung lautet also: $$f(x)=\left(x+2\right)^3-12\cdot\left(x+2\right)+6$$

Avatar von 26 k

Schreib doch direkt die Lösung hin. Denkst du echt, dass ein normaler Oberstufenschüler erkennt, wie der Ansatz zustande kommt? Wohl kaum...

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Gefragt 16 Mär 2021 von notch
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