Berechnen Sie eine Funktionalmatrix J_{f}(x, y, z) .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

c) Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(x, y, z):=\left(\begin{array}{c}y^{2}-z \\ \sin (z) e^{x} \\ e^{x+\cos (z)} .\end{array}\right) \). Berechnen Sie die Funktionalmatrix \( J_{f}(x, y, z) \).

Problem/Ansatz:

f(x)=sin (z)*e^x ; -sin(z)*e^x+cos(z)

f(y)= 2y

f(z)= cos(1)*e^x; -sin(1)*e^x+cos(z)

Answer 1

Problem/Ansatz:

f(x)=sin (z)*ex ; -sin(z)*ex+cos(z)

f(y)= 2y

f(z)= cos(1)*ex; -sin(1)*ex+cos(z)

Es ist leider unklar, was du damit sagen willst.

Berechne jeweils die Ableitung nach \(x\), \(y\) und \(z\). Für die Ableitungen nach \(x\) ergeben sich bspw:

\(\begin{pmatrix} 0\\ \sin(z)\mathrm{e}^x\\ \mathrm{e}^{x+\cos(z)}\end{pmatrix}\)

Das liefert dir die erste Spalte der Jacobi-Matrix.

Answer 2

Aloha :)

Du möchtest / sollst von der Funktion$$f(x;y;z)=\begin{pmatrix}f_1(x;y;z)\\f_2(x;y;z)\\f_3(x;y;z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y^2-z\\\sin(z)e^x\\e^{x+\cos(z)}\end{pmatrix}$$die Funktionalmatrix \(J_f(x;y;z)\) bestimmen. Diese Matrix enthält die Gradienten der Komponenten-Funktionen als Zeilenvektoren:$$J_f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}f_1(x;y;z)\\\operatorname{grad}f_2(x;y;z)\\\operatorname{grad}f_3(x;y;z)\end{pmatrix}$$

Du berechnest also:$$\operatorname{grad}f_1(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}(y^2-z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}(y^2-z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}(y^2-z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2y\\-1\end{pmatrix}$$$$\operatorname{grad}f_2(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\left(\sin(z)e^x\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(\sin(z)e^x\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\left(\sin(z)e^x\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(z)e^x\\0\\\cos(z)e^x\end{pmatrix}$$$$\operatorname{grad}f_3(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\cdot1\\0\\\left(e^{x+\cos(z)}\right)\cdot(-\sin(z))\end{pmatrix}$$[Beim letzten Gradienten kam die Kettenregel zum Einsatz.]

Nun schreibst du die Gradienten als Zeilenvektoren in eine Matrix:$$J_f(x;y;z)=\left(\begin{array}{c}0 & 2y & -1\\[1ex]\sin(z)e^x & 0 & \cos(z)e^x\\[1ex]e^{x+\cos(z)} & 0 & -\sin(z)e^{x+\cos(z)}\end{array}\right)$$