Geben Sie einen Funktionsterm an mit u(x) und v(x)

Question

Hallo,

ich weiß bei dieser Aufgabe nicht wie genau ich vorgehen muss und mich verwirrt auch die Bezeichnung u(x)= g(f(x)). Heißt das nur konkret, dass in die Funktion g(x), f(x) eingesetzt wurde?

Betrachtet werden nun die in \( \mathbb{R} \backslash\{0\} \) definierte Funktion \( u: x \mapsto f(g(x)) \) sowie die in \( \mathbb{R} \) definierte Funktion \( v: x \mapsto g(f(x)) \). Für die erste Ableitungsfunktion \( u^{\prime} \) von \( u \) gilt \( u^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}} \cdot e^{\frac{1}{x}} \).

1)  Geben Sie für jede der Funktionen u und v einen Funktionsterm an, der zwar die Variable \( x \), aber keine Funktionsbezeichnung wie „f" oder "g" enthält. Nennen Sie die Wertemengen von \( u \) und \( v \).

Answer 1

u(x) ist eine beliebige Stammfunktion von u'(x).

u(x) = e^{1/x}

Für v(x) vertauscht man die Verkettung der zugrunde liegenden Funktionsterme.

v(x) = 1/e^x

Jetzt solltest du das versuchen nachzuvollziehen und dann, die gewünschten Wertemenge berechnen.

Eine Skizze der Funktion kann deine Rechnung kontrollieren.

Comments

Woher weiß ich dass eine beliebige Stammfunktion ausgerechnet e^(1/x) ist?

u´(x) ist ja eine verkettung

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Woher weiß ich dass eine beliebige Stammfunktion ausgerechnet e^(1/x) ist?

Du kannst u(x) = e^(1/x) mit der Kettenregel ableiten und dann kommt die gegebene Funktion u'(x) heraus.

Du könntest dir auch als Addon überlegen wie dann eine allgemeine Stammfunktion lautet.

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Okay das mit der Kettenregel habe ich verstanden, die kenne ich ja. Aber wie man aus u´(x) eine Stammfunktion macht verstehe ich nicht. Gibt es dafür eine Regel oder Formel?

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Du weißt das e^(z(x)) immer mit der Kettenregel abgeleitet wird zu z'(x)·e^(z(x)). D.h. die Ableitung des Exponenten kommt einfach nur als Faktor vor das e. Also, wenn du die Ableitung des Exponenten vor dem e siehst, dann fällt der Faktor bei Integrieren einfach weg. Das ist die Umkehrung der Kettenregel fürs Integrieren.

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Achso okay. Dazu schaue ich mir direkt mal was an. Das hat aufjedenfall geholfen. Eine andere Frage ist wieso ich für v(x) jetzt die verkettung tauschen muss. Ich hätte jetzt gesagt, dass es so ist weil v(x) quasi auch nur u(x) umgedreht ist.

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Wenn u(x) = f(g(x)) = e^(1/x) ist, dann ist

f(x) = e^x und

g(x) = 1/x

Wäre das so klar? Und v(x) = g(f(x)) vertauscht doch nur die innere Funktion mit der äußeren Funktion.

Kannst du die Verkettung bilden, wenn die Grundfunktionen aus denen die Verkettung besteht gegeben sind?

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Ouhh jetzt hab ich es verstanden, vielen dank für die Hilfe :)

Man muss für das x in e^x einfach nur dann g(x) einsetzen und dann kommt man drauf und so auch für v(x). Das mit der Stammfunktion eigne ich mir noch an!

Answer 2

Zu \( u:\: x \mapsto f(g(x)) \) ist \( u':\: x \mapsto g'(x)\cdot f'(g) \) die Ableitungsfunktion. Das wäre ein erster Schritt.