Geben Sie eine Bedingung für a, b und c an, so dass Vektor (a,b,c) eine Linarkombination von u und v ist .

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Bedingung für a, b und c an, so dass Vektor (a,b,c) eine Linarkombination von u und v ist . Vektor u = (1,-3,2) und Vektor v = ( 2, -1,1) in R^3

Problem/Ansatz:

Der Vektor
(a,b,c) ist eine Linearkombination der Vektoren u und v wenn es Skalare
x und
y gibt, so dass: (a,b,c) = x * u + y* v

mein x= -1/5 a -2/5 b ,  y = 3/5 a + 1/5 b

Die Gleichungen stimmen aber nicht mit x und y .

x + 2y = a

-3x -y = b

2x + y =c

wo liegt der Fehler ??

Danke

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist eine Bedingung zwischen den Komponenten \(a,b,c\) des Vektors, sodass gilt:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$

Wir wählen die zweite und die dritte Koordinatengleichung aus:$$b=-3s-t\quad;\quad c=2s+t$$und lösen dieses Mini-Gleichungssystem nach \(s\) unt \(t\) auf:$$b+c=(-3s-t)+(2s+t)=-s\quad\implies\quad s=-b-c$$$$b=-3s-t=3\cdot(b+c)-t\qquad\quad\;\;\implies\quad t=2b+3c$$

Diese Werte für \(s\) und \(t\) ergeben sich zwingend aus den Gleichungen für die zweite und dritte Koordinate. Für die Komponente \(a\) aus der ersten Koordinatengleichung folgt daher:$$a=s+2t=(-b-c)+2(2b+3c)=2b+5c$$

Damit haben wir die gesuchte Bedingung:$$a=2b+5c$$

Answer 2

(a,b,c) = x * u + y* v

Du musst doch nur die Vektoren u und v einsetzen. Es sind Bedingungen an a, b, und c gesucht, nicht an x und y.

Comments

also

x + 2y = a

-3x -y = b

2x + y =c