Determinante mit Laplace ausrechnen

Question

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}F:\left|\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 1 & 2\end{array}\right| \\ =4-(-5)+2 \cdot 7=9+14=23 \\ \text { II: }\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right|=-5+3(-3)=-5-9=-14 \\ \text { III: }\left|\begin{array}{ll}2 & -3 \\ 1 & 2\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 2 & -3\end{array}\right|=7+3 \cdot(-1)=4 \\ \Rightarrow 2(23)+(-14)-4=46-18=28 \\\end{array} \)

ich will die Determinante von A mit Laplace berechnen. Das Ergebnis soll laut einem Onlinematrixrechner -44 sein, ich bin aber nach dem zweiten Mal wieder auf etwas anderes gekommen. Kann mir bitte jemand erklären was ich falsch mache? Danke.

Answer 1

Aloha :)

Du hast bereits in der ersten Zeile das Schachbrettmuster für die Vorzeichen falsch angewendet, sodass schon der erste Vorfaktor falsch ist. Richtig wäre \((-2)\) anstatt \(2\).

Du kannst in einer Determinante beliebige Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Dasselbe gilt für Spalten. Damit kannst du vor der Anwendung von Laplace versuchen, so viele Nullen wir möglich in einer Zeile oder Spalte zu generieren.

$$|A|=\left|\begin{array}{rrrr}-2 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & -1 & 2\\0 & 2 & -3 & 1\\3 & 1 & 2 & -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}-2+\green2\cdot\pink1 & 0+\green2\cdot\pink1 & 1+\green2\cdot(\pink{-1}) & 1+\green2\cdot\pink2\\\pink1 & \pink1 & \pink{-1} & \pink2\\0 & 2 & -3 & 1\\3-\orange3\cdot\pink1 & 1-\orange3\cdot\pink1 & 2-\orange3\cdot(\pink{-1}) & -2-\orange3\cdot\pink2\end{array}\right|$$$$\phantom{|A|}=\left|\begin{array}{rrrr}0 & 2 & -1 & 5\\1 & 1 & -1 & 2\\0 & 2 & -3 & 1\\0 & -2 & 5 & -8\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 5\\2 & -3 & 1\\-2 & 5 & -8\end{array}\right|$$$$\phantom{|A|}=-\left|\begin{array}{rrrr}\pink2 & \pink{-1} & \pink5\\2-\pink2 & -3-(\pink{-1}) & 1-\pink5\\-2+\pink2 & 5+(\pink{-1}) & -8+\pink5\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 5\\0 & -2 & -4\\0 & 4 & -3\end{array}\right|$$$$\phantom{|A|}=-2\left|\begin{array}{rrrr}-2 & -4\\4 & -3\end{array}\right|=-2\cdot(6+16)=-44$$

Comments

Wie kommst du auf die -1 und die -2 vor der jeweiligen Matrix?

---

Ich erkläre die Entwicklung einer Determinante nach Laplace anhand einer 3x3-Determinante:$$D=\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|$$Dabei solltest du im Hinterkopf ein Schachbrett-Muster haben, das genauso groß ist wie die zu berechnende Determinante und das links oben mit einem Plus beginnt:$$\left|\begin{array}{ccc}+ & - & +\\- & + & -\\+ & - & +\end{array}\right|$$

Du kannst die Determinante nun nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln. Dabei tauchen die Zahlen aus der Entwicklungs-Zeile oder -Spalte als Faktor vor den Unterdeterminanten auf und das Vorzeichen aus dem Schachbrett-Muster bestimmt, ob du das Vorzeichen dieses Faktors wechseln musst (bei Minus) oder gleich lässt (bei Plus).

1. Beispiel: Entwicklung nach der erseten Spalte:$$D=\left|\begin{array}{cccc}\pink{a_1} & b_1 & c_1\\\pink{a_2} & b_2 & c_2\\\pink{a_3} & b_3 & c_3\end{array}\right|$$$$\phantom D=+\pink{a_1}\left|\begin{array}{cccc}\cancel{\pink{a_1}} & \cancel{b_1} & \cancel{c_1}\\\cancel{\pink{a_2}} & b_2 & c_2\\\cancel{\pink{a_3}} & b_3 & c_3\end{array}\right|-\pink{a_2}\left|\begin{array}{cccc}\cancel{\pink{a_1}} & b_1 & c_1\\\cancel{\pink{a_2}} & \cancel{b_2} & \cancel{c_2}\\\cancel{\pink{a_3}} & b_3 & c_3\end{array}\right|+\pink{a_3}\left|\begin{array}{ccc}\cancel{\pink{a_1}} & b_1 & c_1\\\cancel{\pink{a_2}} & b_2 & c_2\\\cancel{\pink{a_3}} & \cancel{b_3} & \cancel{c_3}\end{array}\right|$$$$\phantom D=\pink{a_1}\left|\begin{array}{cc}b_2 & c_2\\b_3 & c_3\end{array}\right|-\pink{a_2}\left|\begin{array}{cc}b_1 & c_1\\b_3 & c_3\end{array}\right|+\pink{a_3}\left|\begin{array}{cc}b_1 & c_1\\b_2 & c_2\\\end{array}\right|$$

2. Beispiel: Entwicklung nach der zweiten Zeile:$$D=\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1\\\pink{a_2} & \pink{b_2} & \pink{c_2}\\a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|$$$$\phantom D=-\pink{a_2}\left|\begin{array}{ccc}\cancel{a_1} & b_1 & c_1\\\cancel{\pink{a_2}} & \cancel{\pink{b_2}} & \cancel{\pink{c_2}}\\\cancel{a_3} & b_3 & c_3\end{array}\right|+\pink{b_2}\left|\begin{array}{ccc}a_1 & \cancel{b_1} & c_1\\\cancel{\pink{a_2}} & \cancel{\pink{b_2}} & \cancel{\pink{c_2}}\\a_3 & \cancel{b_3} & c_3\end{array}\right|-\pink{a_3}\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & \cancel{c_1}\\\cancel{\pink{a_2}} & \cancel{\pink{b_2}} & \cancel{\pink{c_2}}\\a_3 & b_3 & \cancel{c_3}\end{array}\right|$$$$\phantom D=-\pink{a_2}\left|\begin{array}{cc}b_1 & c_1\\b_3 & c_3\end{array}\right|+\pink{b_2}\left|\begin{array}{cc}a_1 & c_1\\a_3 & c_3\end{array}\right|-\pink{a_3}\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1 \\a_3 & b_3\end{array}\right|$$

Jetzt sollte klar sein, woher die (-1) und die (-2) kommen... ;)

---

Danke. Danke!

Answer 2

Schau doch mal selber

Answer 3

Deine erste Determinante ist falsch. Da sollte 13 rauskommen. Und dann beachte auch nochmal den Vorfaktor. Hier geht einiges mit den Vorzeichen schief!