Monotonie bestimmen: f(x)= x^3+3

Question

Wie muss ich hier vorgehen?

Kann das mal einer Vorrechnen und ich mache dann die nächste selber? :)

Answer 1

Hi,

Monotonie heißt f'(x) > 0, bzw. f'(x) < 0 (das wäre dann schon "strenge Monotonie", ansonsten eben ≤ bzw. ≥).

Bestimmen wir also die Ableitung:

f'(x) = 3x^2

Null setzen:

x = 0

Die einzige Nullstelle die wir haben ist x = 0. Davor und danach gibt es Monotonie. Da f'(x) = 3x^2 ist, ist das immer ≥ 0, wir haben also den Fall f'(x) ≥ 0, was monoton steigend bedeutet. Und zwar überall! x ∈ ℝ

(Das ist auch "streng monoton" siehe dafür Kommentare)

Grüße

Comments

Wow :O

Nein das lasse ich lieber noch...das verstehe ich nämlich nicht :(

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Daran ist doch nix schwer? Ableitung bilden und dann, ok, mit dem Ungleichheitszeichen arbeiten^^.

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Hmm najaaa...kannst du mir mal eine besonders einfache:D Aufgabe geben? Wo ich das mal versuchen kann?

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emre,

1.Ableitung = 0 ( Extrem- oder Sattelpunkt )
3 * x^2 = 0
x^2 = 0
x = 0

1.Ableitung > 0 ( Funktion ist steigend )
3 * x^2 > 0
x^2 > 0
Eine Quadratzahl ist immer positiv.
( Außer der 0 )
Also stimmt die die Aussage immer.
Die Funktion ist beständig steigend ( Außer bei x = 0 ).
Sie ist nie fallend.

mfg Georg

Eine " einfache " Funktion : f ( x ) = (-3) * x^2 + 7 * x zum üben.
Ich gehe jetzt allerdings ins Bett.

mfg Georg

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Hallo Georg :)

Danke auch für deine Erklärung:D

Und danke auch für die Übunsaufgabe:)

Gute Nacht, ich gehe gleich auch ins Bett ^^

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@Unknown: Die Funktion ist sogar auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, nicht nur auf \(\mathbb{R}\setminus\{0\}.\)

\(f'(x)>0\) ist nur ein hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie, aber kein notwendiges.

Die eigentliche Definition von strenger Monotonie ist ja: f ist auf (a, b) streng monoton steigend, wenn für alle \(x_1, x_2\in(a,b)\) gilt: \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2).\)

Und das ist hier erfüllt für \(a=-\infty, b=\infty\), also \((a,b)=\mathbb{R}\); deswegen ist f streng monoton steigend auf ganz \(\mathbb{R}\).

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Stimmt das ?

mfg Georg

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Ja, das ist richtig. Zumindest solange bei der untersten Kurve mehrere Punkte auf dem gleichen y-Wert sind :).

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Und wieso müssen bei der unteren Kurve mehrere Punkte auf dem gleichen y-Wert sein?

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Sonst wäre es streng monoton (falls Du darauf anspielst, dass ich nicht "nebeneinander" gesagt habe. So viel hatte ich vorausgesetzt...)

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Aber streng monoton ist doch auch monoton. Also wäre das dann auch nicht falsch. ;-)

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Was aber nicht im Sinne von Georgs Frage war ;). Und nur darauf wollte ich antworten.

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-  x2 > x1
- streng monoton steigend : f ( x2 ) > f ( x1 )
dies trifft für das 1. und 2. Beispiel zu

- nur monton steigend : f ( x2 ) >= f ( x1 )
dies trifft für das 3.Beispiel zu

  mfg Georg