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Aufgabe:

Lagrange Ansatz, alle Kritische Stellen berechnen.

Hauptbedingung: \( \mathrm{F}=\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}-\mathrm{y}^{3} \), Nebenbedingung ist \( \mathrm{G}=\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{y}^{2}-16=0 \)
\( \begin{array}{l} \mathrm{L}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \text { Lambda })=\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}-\mathrm{y}^{3}+\text { lambda* }\left(\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{y}^{2}-16\right) \quad \text { |Klammer auflösen } \\ L(x, y, \text { Lambda })=x^{2}+3 y^{2}-y^{3}+x^{2} \text { lambda }, 4 y^{2} \text { lambda+lambda }-16 \\ \\ \text { Lagrange }(x)=2 x+2 \text { lambda } \\ \text { Lagrange(y) } \quad=6 y+3 y+8 y \text { lambda } \\ \text { Lagrange }\left(\text { lambda) }=\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{y}^{2}-16\right. \\ \end{array} \)

Danach Gleichungssytem

\( \begin{array}{ll|} 2 x+2 x \text { lambda } & =0 \\ 6 y-3 y+8 y \text { lambda } & =0 \\ x^{2}+4 y^{2}-16 & =0 \end{array} \)


Ich weiß nicht, wie ich die Lambda aus dem Gleichungsystem entfernt bekommen. I-II reihe geht nicht, weil in der I ein y fehlt, in der zweiten ein x und die Zahlen anders sind, teilen bringt hier auch nichts. Welche Möglichkeiten stehen mir hier offen?

Wie kriege ich alternativ das Lambda entfernt?

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Leite erstmal richtig ab.

L(x)=  x²= 2x x²labmda = 2xlambda

L(y)= 3y²=6y -y³=-3y²  4y²lambda=8ylambda

Sehe dort kein Fehler.

Ein \( - 3y^2 \) finde ich oben bei dir nicht.

Hast recht, danke für den Fehler Hinweis bei den Ableitungen. Kannst du mir bitte auch sagen, wie ich das Lambda verschwinden lassen kann?

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Aloha :)

Die Lagrange-Funktion hast du richtig aufgestellt:$$L(x;y;\lambda)=(x^2+3y^2-y^3)+\lambda(x^2+4y^2-16)$$

Bei der partiellen Ableitung nach \(y\) hast du dich vertan:$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x+2\lambda x\stackrel!=0\quad;\quad\frac{\partial L}{\partial y}=6y-3y^2+8\lambda y\stackrel!=0$$

Die partielle Ableitung nach \(\lambda\) ergibt einfach die Nebenbedingung selbst, deswegen habe ich sie nicht mehr extra hingeschrieben. Im Extremum müssen die partiellen Ableitungen gleich Null sein:$$2x+2\lambda x=0\implies2x(1+\lambda)=0\implies \pink{x=0\;\lor\;\lambda=-1}$$$$6y-3y^2+8\lambda y=0\implies y(6-3y+8\lambda)=0\implies\green{y=0\;\lor\;6-3y+8\lambda=0}$$

Beide farbig markierten Forderungen müssen erfüllt sein.

Wir machen eine Fallunterscheidung.

1. Fall: \(\pink{x=0}\)

Einestzen von \(\pink{x=0}\) in die Nebenbedingung liefert \(4y^2-16=0\) bzw. \(y=\pm2\).

Beide Werte für \(y\) erfüllen die grüne Nebenbedingung, da wir ja den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) so wählen können, dass die zweite Gleichung erfüllt ist.

Dieser Fall liefert uns also 2 Kandidaten: \(K_{1;2}=(0|\pm2)\)

2. Fall \(\green{y=0}\)

Einsetzen von \(\green{y=0}\) in die Nebenbedingung liefert \(x^2-16=0\) bzw. \(x=\pm4\).

Beide Werte für \(x\) stehen nicht im Widerspruch zur pinken Bedingung, denn wir können ja \(\pink{\lambda=-1}\) wählen.

Dieser Fall liefert uns also 2 weitere Kandidaten: \(K_{3;4}=(\pm4|0)\)

3. Fall \(\pink{x\ne0}\;\land\;\green{y\ne0}\)

Aus der pinlken Forderung folgt \(\pink{\lambda=-1}\).

Damit erhalten wir aus der grünen Forderung \(\green{6-3y+8\lambda=0}\) den Wert \(y=-\frac23\).

Dies in die Nebenbedingung eingesetzt liefert \(x^2+\frac{16}{9}-16=0\) bzw. \(x=\pm\frac{8\sqrt2}{3}\)

Dieser Fall liefert zwei weitere Kandidaten: \(K_{5;6}=\left(\pm\frac83\sqrt2\big|-\frac23\right)\)


Lagrange liefert uns also insgesamt 6 kritische Stellen.

Avatar von 152 k 🚀

Hallo Stefan,

siehst du irgendeinen Grund, weshalb WA für das System

2x+2xλ=0 and 6y-3y2+8yλ=0 and x2+4y2-16=0

deine Lösung (x|y) = (0|2) nicht angibt?

https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%2B2xr%3D0+and+6y-3y%5E2%2B8yr%3D0+and+x%5E2%2B4y%5E2-16%3D0

mit λ=0  wäre das System erfüllt.

Gruß Wolfgang

Klick halt mal auf "more solutions" ...

In der Physik ist der Lagrange-Operator \(\lambda\) ein Maß für die Stärke der Kraft, die den Körper während seiner Beweung auf der durch die Zwangsbedingung vorgegebene Bahn zwingt. Wenn \(\lambda=0\) ist, wirkt keine Zwangskraft auf ihn.

Durch \(\lambda=0\) wird sozusagen die Nebenbedingung ignoriert. Daher wird dieser Fall im Allgemeinen bei den Lagrange-Lösungen gesondert behandelt. Die zu optimierende Funktion kann in solchen Fällen ein Extermum haben, das sie auch ohne die Nebenbedingung hätte.

Danke euch! #################

+1 Daumen

Klammere mal \( x \) und \( y \) in den ersten beiden Ableitungen aus.

Avatar von 18 k

Okey das ist


x(2+2xlambda)

y(6-3y²+8ylambda)



Okey Moment, das heißt


x=0 und y=0

Wenn ich eins von beiden in die dritte Ableitung einsetze, habe ich folgendes raus:

y in die Dritte Ableitung:

x²+4*0²-16=0

x²-16=0    +16

x²= 16       |wurzel

x= +-4

Dann habe ich 2+2xLambda und 6-3y²+8yLambda übrig.


2+2xLambda=0   |-2

2xLambda=  -2    :2x

Lambda= 1


Ist es bis hierhin richtig?

edit Lambda=-1

x(2+2xlambda)

Das stimmt schon nicht.

Dachte ich mir schon, habe es von jemanden aus Youtube übernommen. Wenn man ausklammert, muss es für jeden Term gelten. das heißt x(2+2lambda) und für y(6-3y+8lambda)

Das sieht schon besser aus.

Was kann ich aber mit diesen beiden ausgeklammerten x und Y Werten tun?

Damit bekommst du Lösungen, so dass die ersten beiden Ableitungen = 0 sind. Musst dann nur noch schauen, dass du die dritte Ableitung gleich 0 bekommst.

Okey zum aktuellen Stand habe ich:

x(4lambda)=0

hier die das erste x=0

dann y(6-3y+8lambda)

hier das erste y=0

y=0 in dritte Gleichung:

x²+4*0²-16=0

x²-16 =0  |+16

x²            =16 |wurzel

x= +-4

x=0 in die dritte Gleichung:

0²+4y²-16=0

4y²-16= 0 |+16

4y²   =16  |:4

y²     =4 |wurzel

y     =+-2


Du hast gesagt, ich bekomme Lösungen, so dass die ersten beiden Ableitungen 0 sind.


Testen wir das mal aus.


Für die erste Gleichung x: habe ich einmal 0 und + - 4  und Lambda 4

2x+2xlambda=0

+4 und 4Lambda einsetzen: 2*4+2*+4+4=20 geht nicht

-4 und 4 Lambda einsetzen: 2*-4+2*-4+4=12 geht nicht

0 und 4 Lambda einsetzen: 2*0²+2*0²+4 = 4

also keine Möglichkeit funktioniert hier.

Wenn du so durcheinander vorgehst, funktioniert das auch nicht.

Aus \(x(2+2\lambda)=0\) folgt \(x=0\) oder \(\lambda =-1\).

Aus \(y(6-3y+8\lambda)=0\) folgt \(y=0\) oder \(6-3y+8\lambda=0\).

Mit \(x=y=0\) kann die dritte Gleichung nicht erfüllt werden. Also wähle für die erste Gleichung \(\lambda=-1\). Dann kann man anhand der dritten Gleichung für \(y=0\) das \(x\) bestimmen. Schaue dann, welche Möglichkeiten du hast, wenn \(6-3y+8\lambda =0\) ist.

"Also wähle für die erste Gleichung \(\lambda=-1\)"

Damit möchte man nachprüfen ob die erste Ableitung 0 ist?

Wenn ich für die erste Gleichung -1 einsetze komme ich auf 2x-2x=0

Das heißt, die erste Gleichung ist 0, das wäre geschafft.


"Dann kann man anhand der dritten Gleichung für y=0 das x bestimmen."

Okey, dann setze ich y=0 in die dritte Gleichung:

x²+4*0²-16=0

x²-16=0   |+16

x²     =16   |wurzel

x=    +-4

das heißt mein x ist +4 -4


"Schaue dann, welche Möglichkeiten du hast, wenn (6-3y+8lambda=0 ist"

ich habe y und x herausgefunden. ich kann Lamda -1 einsetzen und nach y auflösen?

Du wählst doch das \(\lambda\) in der ersten Gleichung so, dass 0 rauskommt. Das musst du doch dann nicht nochmal nachrechnen. ;)

Du hast meinen Kommentar nicht richtig verstanden. Aber ja, du hast dann \(y=0\) und \(x=4\) oder \(x=-4\). Damit hast du dann schon 2 Lösungen.

Der Fall \(6-3y+8\lambda\) ist dann ein separater Fall, der zu prüfen ist. Dafür können dann wieder andere Werte herauskommen.

"Der Fall \(6-3y+8\lambda\) ist dann ein separater Fall, der zu prüfen ist. Dafür können dann wieder andere Werte herauskommen"

Wenn es sich um ein seperaten Fall handelt, der nichts mit den Werten der 1. und 2 Gleichung zutun hat, hmm dann fällt mir nicht wirklich etwas ein bis auf


x²+4y²-16=0     |+16

x²+4y²= 16       |-4y²

x²=16-4y²

Aber was das bringen soll, oder ob das überhaupt Sinn macht, weiß ich nicht=(

Dein Lagrange(y) = 6y - 3y2 + 8y λ

Was ist mit dem Lagrange (y)? der wurde doch schon ausgeklammert.

Dein Lagrange(y) = 6y - 3y2 + 8y λ

ich beziehe mich auf deine Ausgangsgleichungen.

Wenn du das später "im Chaos" geändert haben solltest, vergiss meinen Einwand

habe die Bedingungen mit meinem L(y) (und λ=r ) mal bei Wolframalpha eingegeben:

https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%2B2xr%3D0+and+6y-3y%5E2%2B8yr%3D0+and+x%5E2%2B4y%5E2-16%3D0

Das bringt mir nichts, weil ich nicht weiß wie ich auf die Lösung komme

Wiederhole das Einsetzungsverfahren für Gleichungssysteme.

Okey, ich setze −1 für Lambda in die zweite Gleichung ein und komme auf folgendes:

6−3y+8⋅−1=0

6−3y−8=0

−2−3y=0|+2

−3y=2|:−3

y= −2/3


Das in die Dritte Gleichung:

x²+4*-2/3²-16=0

x²-16/9-16=0

x²-160/9 =0+1609

x² =1609 | wurzel

x=±4,1

stimmt das?

Das sind zwei weitere Lösungen.

Okey ich habe dann noch für x +-3,7 raus, indem ich lambda -1 in die zweite= -2/3 dann in die dritte .


Danke für eure Hilfe, Geduld und Zeit.

Deine Lösungen kannst du mit dem Link oben vergleichen.

Nach Klick auf 'more solutions' (vgl. Kommentar von dötschwo) zeigt WA die fehlende Lösung an

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Welche der von Wolfram ausgegebenen Lösungen kannst du jetzt noch nicht genau nachvollziehen?

Die Gleichungen lauten nochmals kompakt

2·x·(k + 1) = 0
-y·(3·y - 8·k - 6) = 0
x^2 + 4·y^2 = 16

Für x = 0 gilt also beispielsweise:

0^2 + 4·y^2 = 16 --> y = -2 ∨ y = 2
-(-2)·(3·(-2) - 8·k - 6) = 0 --> y = -2 ∧ k = -1.5
-(2)·(3·(2) - 8·k - 6) = 0 --> y = 2 ∧ k = 0

Avatar von 487 k 🚀

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