Aloha :)
Die Lagrange-Funktion hast du richtig aufgestellt:L(x;y;λ)=(x2+3y2−y3)+λ(x2+4y2−16)
Bei der partiellen Ableitung nach y hast du dich vertan:∂x∂L=2x+2λx=!0;∂y∂L=6y−3y2+8λy=!0
Die partielle Ableitung nach λ ergibt einfach die Nebenbedingung selbst, deswegen habe ich sie nicht mehr extra hingeschrieben. Im Extremum müssen die partiellen Ableitungen gleich Null sein:2x+2λx=0⟹2x(1+λ)=0⟹x=0∨λ=−16y−3y2+8λy=0⟹y(6−3y+8λ)=0⟹y=0∨6−3y+8λ=0
Beide farbig markierten Forderungen müssen erfüllt sein.
Wir machen eine Fallunterscheidung.
1. Fall: x=0
Einestzen von x=0 in die Nebenbedingung liefert 4y2−16=0 bzw. y=±2.
Beide Werte für y erfüllen die grüne Nebenbedingung, da wir ja den Lagrange-Multiplikator λ so wählen können, dass die zweite Gleichung erfüllt ist.
Dieser Fall liefert uns also 2 Kandidaten: K1;2=(0∣±2)
2. Fall y=0
Einsetzen von y=0 in die Nebenbedingung liefert x2−16=0 bzw. x=±4.
Beide Werte für x stehen nicht im Widerspruch zur pinken Bedingung, denn wir können ja λ=−1 wählen.
Dieser Fall liefert uns also 2 weitere Kandidaten: K3;4=(±4∣0)
3. Fall x=0∧y=0
Aus der pinlken Forderung folgt λ=−1.
Damit erhalten wir aus der grünen Forderung 6−3y+8λ=0 den Wert y=−32.
Dies in die Nebenbedingung eingesetzt liefert x2+916−16=0 bzw. x=±382
Dieser Fall liefert zwei weitere Kandidaten: K5;6=(±382∣∣∣−32)
Lagrange liefert uns also insgesamt 6 kritische Stellen.