Aloha :)
Die Lagrange-Funktion hast du richtig aufgestellt:$$L(x;y;\lambda)=(x^2+3y^2-y^3)+\lambda(x^2+4y^2-16)$$
Bei der partiellen Ableitung nach \(y\) hast du dich vertan:$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x+2\lambda x\stackrel!=0\quad;\quad\frac{\partial L}{\partial y}=6y-3y^2+8\lambda y\stackrel!=0$$
Die partielle Ableitung nach \(\lambda\) ergibt einfach die Nebenbedingung selbst, deswegen habe ich sie nicht mehr extra hingeschrieben. Im Extremum müssen die partiellen Ableitungen gleich Null sein:$$2x+2\lambda x=0\implies2x(1+\lambda)=0\implies \pink{x=0\;\lor\;\lambda=-1}$$$$6y-3y^2+8\lambda y=0\implies y(6-3y+8\lambda)=0\implies\green{y=0\;\lor\;6-3y+8\lambda=0}$$
Beide farbig markierten Forderungen müssen erfüllt sein.
Wir machen eine Fallunterscheidung.
1. Fall: \(\pink{x=0}\)
Einestzen von \(\pink{x=0}\) in die Nebenbedingung liefert \(4y^2-16=0\) bzw. \(y=\pm2\).
Beide Werte für \(y\) erfüllen die grüne Nebenbedingung, da wir ja den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) so wählen können, dass die zweite Gleichung erfüllt ist.
Dieser Fall liefert uns also 2 Kandidaten: \(K_{1;2}=(0|\pm2)\)
2. Fall \(\green{y=0}\)
Einsetzen von \(\green{y=0}\) in die Nebenbedingung liefert \(x^2-16=0\) bzw. \(x=\pm4\).
Beide Werte für \(x\) stehen nicht im Widerspruch zur pinken Bedingung, denn wir können ja \(\pink{\lambda=-1}\) wählen.
Dieser Fall liefert uns also 2 weitere Kandidaten: \(K_{3;4}=(\pm4|0)\)
3. Fall \(\pink{x\ne0}\;\land\;\green{y\ne0}\)
Aus der pinlken Forderung folgt \(\pink{\lambda=-1}\).
Damit erhalten wir aus der grünen Forderung \(\green{6-3y+8\lambda=0}\) den Wert \(y=-\frac23\).
Dies in die Nebenbedingung eingesetzt liefert \(x^2+\frac{16}{9}-16=0\) bzw. \(x=\pm\frac{8\sqrt2}{3}\)
Dieser Fall liefert zwei weitere Kandidaten: \(K_{5;6}=\left(\pm\frac83\sqrt2\big|-\frac23\right)\)
Lagrange liefert uns also insgesamt 6 kritische Stellen.
