Winkel in einem Würfel

Question

Aufgabe:

Ein Partner löst die folgenden Textaufgaben für einen Würfel der Kantenlänge \( 5 \mathrm{~cm} \), der andere für einen Würfel der Kantenlänge \( 7 \mathrm{~cm} \). Vergleicht eure Ergebnisse und verallgemeinert auf eine beliebige Kantenlänge a.

a) Wie groß ist der Winkel, den die Raumdiagonale des Würfels

(1) mit einer Kante bildet;

(2) mit der Diagonalen einer Seitenfläche bildet?

b) Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen?

Problem/Ansatz:

wie gehe ich an die Aufgabe ran ? Ich bin überfragt .

Answer 1

Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren:

\(\displaystyle \varphi= \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid}\right) \)

Mit dem von Dir als Schlagwort vergebenen "satz-des-pythagoras" kann man hier eher wenig anfangen.

Comments

Deine Antwort geht höchstwahrscheinlich am Schul-Niveau (Klassenstufe) des Fragestellers komplett vorbei, und deshalb ist Pythagors genau die Methode der Wahl.

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Für den violetten Winkel bei a) (1):

\(\displaystyle \varphi= \arccos\left(\frac{\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AE}}{\big|\overrightarrow{AG}\big| \cdot \big|\overrightarrow{AE}\big|}\right) =  \arccos\left(\frac{\begin{pmatrix} -a\\a\\a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\a \end{pmatrix}}{\Bigg|\begin{pmatrix} -a\\a\\a \end{pmatrix}\Bigg| \; \cdot \; \Bigg|\begin{pmatrix} 0\\0\\a \end{pmatrix}\Bigg|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)

zum Hinweis von Gast hj2166:

Falls das noch too much sein sollte, betrachte den violetten Winkel im rechtwinkligen Dreieck AGE. Die Länge der Raumdiagonale eines Würfels beträgt das Wurzeldreifache der Kantenlänge (darauf kommt man tatsächlich mit Pythagoras), und im Winkel gilt daher Cosinus = Länge der Ankathete / Länge der Hypotenuse = 1 / \( \sqrt{3} \)

Mein Lieblingstaschenrechner kommt auf einen Winkel von ca. 54,7 Grad, beim blauen Winkel auf arccos(\( \sqrt{2} \)  / \( \sqrt{3} \)) ≈ 35,3 Grad. Die beiden Winkel addieren sich auf 90 Grad des Winkels CAE, was man auch in der Abbildung sieht.