Veränderung von Raum- und Flächendiagonalen - Würfel

Question

Aufgabe:

Wie verändern sich die Flächendiagonalen und die Raumdiagonalen eines Würfel, wenn man die Seitenlänge verdoppelt?

Überprüfe deine Vermutung für a₁= 4cm und a₂= 8cm.

Stelle eine Formel für den Sachverhalt auf.

Problem:

Ich habe schon herausgefunden, dass die Diagonalen sich jeweils verdoppeln.

d₁≈ 5,66cm   d₂=11,31cm

dR₁= 6,93cm    dR₂= 13,86cm

Aber welche Formel soll ich dafür aufstellen?

d₂= 2•a√2  ?

Answer 1

Flächendiagolane

d = √(a^2 + a^2) = √2·a

Raumdiagonale

e = √(a^2 + a^2 + a^2) = √3·a 

Answer 2

Aloha :)

Für die Flächendiagonale gilt:$$d_F=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt2\,a$$Wenn wir \(a\) nun verdoppeln, finden wir:$$d'_F=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=\sqrt{4a^2+4a^2}=\sqrt{8a^2}=\sqrt8\,a=2\sqrt2\,a=2\,d_F$$Die Flächendiagonale verdoppelt sich also.

Für die Raumdiagonale gilt:$$d_V=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=\sqrt3\,a$$Wenn wir \(a\) nun verdoppeln, finden wir:$$d'_V=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2+(2a)^2}=\sqrt{4a^2+4a^2+4a^2}=\sqrt{12a^2}=\sqrt{12}\,a$$$$\phantom{d'_V}=2\sqrt3\,a=2\,d_V$$Die Raumdiagonale verdoppelt sich also auch.