Lage und Punktbeziehung im Dreieck

Question

Aufgabe:

… Gegeben sind die Punkte A (6|3|1), B (6|9|1), C (0|3|3).
Prüfen Sie, ob die Punkte P (3|5|2), Q(3|7|2), R(4|5|1) im Dreieck ABC liegen.

Problem/Ansatz:

ich versuche es seit 2 std und verstehe es immer noch nicht kriege es gar nicht hin wäre sehr dankbar wenn jemand es löst schritt für schritt damit ich es genau verstehe.

Danke im voraus

Text erkannt:

toren \( \overrightarrow{A B} \) und \( \overrightarrow{A C} \) aufgespannten Dreieck, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(1) \( 0 \leq \mathrm{r} \leq 1 \),
(2) \( 0 \leq \mathrm{s} \leq 1 \),
(3) \( 0 \leq r+s \leq 1 \).

Die Zeichnung verdeutlicht diese Interpretation der Parameterwerte.

Übung 3 Lage Punkt/Dreieck
Gegeben sind die Punkte A(6|3|1), B (6|9|1), C(0|3|3).
Prüfen Sie, ob die Punkte P(3|5|2), Q(3|7|2), R(4|5|1) im Dreieck ABC liegen.
Übung 4 Lage Punkt/Parallelogramm
Ein Punkt \( P \) der Ebene \( E: \vec{x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+r \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm{s} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} \) liegt genau dann in dem durch die Vektoren \( \overrightarrow{A B} \) und \( \overrightarrow{A C} \) aufgespannten Parallelogramm, wenn für seine Parameterwerte gilt: \( 0 \leq r \leq 1 \) und \( 0 \leq \mathrm{s} \leq 1 \).
Gegeben sind die Punkte \( \mathrm{A}(4|1| 0), \mathrm{B}(2|3| 2), \mathrm{C}(-1|3| 4) \), \( \mathrm{D}(1|1| 2) \).
a) Zeigen Sie, dass \( A B C D \) ein Parallelogramm ist.
b) Prüfen Sie, ob die Punkte P \( (2|1,5| 1,5) \) und \( Q(-2|4| 5) \) im Parallelogramm ABCD liegen.

Answer 1

[6, 3, 1] + r·[0, 6, 0] + s·[-6, 0, 2] = [3, 5, 2] --> r = 1/3 ∧ s = 1/2 → P liegt im Dreieck

[6, 3, 1] + r·[0, 6, 0] + s·[-6, 0, 2] = [3, 7, 2] --> r = 2/3 ∧ s = 1/2 → Q liegt nicht im Dreieck weil r + s > 1

[6, 3, 1] + r·[0, 6, 0] + s·[-6, 0, 2] = [4, 5, 1] → Keine Lösung für r, s → R liegt nicht mal in der Ebene in der ABC liegen und daher auch nicht im Dreieck.

Comments

Was hast du 2 Stunden lang gemacht? Hast du es mal bei Geogebra eingegeben, um dir das Vorstellen zu können?

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Nein habe ich nicht es ist mir wirklich zu kompliziert um es zu verstehen würden sie mir den auch bei Aufgabe 4 helfen da ich auch relativ lange dran bin dank ihre Erklärung hab die 3 verstanden.

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4. a)

AB = DC = [-2, 2, 2]

AD = BC = [-3, 0, 2]

b)

[4, 1, 0] + r·[-2, 2, 2] + s·[-3, 0, 2] = [2, 1.5, 1.5] --> r = 1/4 ∧ s = 1/2 → P liegt im Parallelogramm

[4, 1, 0] + r·[-2, 2, 2] + s·[-3, 0, 2] = [-2, 4, 5] → r = 1.5 ∧ s = 1 → Q liegt nicht im Parallelogramm

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dank ihre Erklärung hab die 3 verstanden.

Was für eine dreiste Lüge! Es gibt hier gar keine Erklärung, also kann man da auch gar nichts verstanden haben. Du hättest Aufgabe 4 nämlich sonst auch verstanden, weil es bis auf die Bedingungen an die Parameter exakt das gleiche ist. Und die Bedingungen steht in der Aufgabe explizit drin!

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Was erzählen sie den hier für ein Müll ist zwar keine Erklärung aber ich kann mir die Erklärung selber von dem Rechen weg ableiten

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Sorry, mein Kommentar war etwas drüber. Ich bleibe aber bei meiner Ansicht, dass hier nichts verstanden wurde, denn dann hätte man das Verständnis von Aufgabe 3 auf Aufgabe 4 übertragen können. Zumindest, was Aufgabe b) angeht.

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Richtig. Für a) nützt sie überhaupt nichts und vielleicht liegt genau dort das Problem.

Für Aufgabe b) sollte die Lösung von 3. allerdings weiterhelfen. Im Grunde stellt man ja nur eine Ebenengleichung auf und erreicht durch Einschränkung der Parameter ein Dreieck oder ein Parallelogramm. Dann macht man eine Punktprobe, die generell zeigt, ob der Punkt in der Ebene liegt. Über die Prüfung der Parameter kann man dann noch beurteilen, ob der Punkt im Parallelogramm oder gar im Dreieck liegt.