folgen und reihen? umsatz

Question

Der Umsatz eines Betriebes erhöht sich in jedem Jahr um 5 % des Vorjahresumsatzes. Nach wie vielen Jahren wird die Summe aller Jahresumsaätze in etwas das 11-fache des umsatzes des ersten jahres erreichen?

Comments

Ansatz:

11*U*(1,05^n-1)/0,05= U*1,05^n

U kürzt sich raus. Damit kannst du nach n auflösen.

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Hmm,
links steht das 11-fache der Summe der Umsätze der ersten n Jahre und
rechts der Betrag, der sich ergibt, wenn der erste Jahresumsatz n Jahre lang mit 5 % verzinst wird.
Nach n aufgelöst ergibt die Formel also die Anzahl n der Jahre, nach dem der verzinste erste Jahresumsatz dass 11 - fache der ersten n Jahresumsätze übersteigt. Das ist, wenn man es ausrechnet, nach etwa 49 Jahren der Fall.

Das aber war nicht Inhalt der Frage ...

Answer 1

Für die Summe U_ges ( t ) aller Umsätze der ersten t Jahre gilt:

U_ges ( t ) = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_t

wobei gilt: U_i = U_{i - 1} * 1,05 , also:

U_ges ( t ) = U₁ * 1,05 ⁰ + U₁ 1,05 ¹+ U₃ 1,05 ² + ... + U_t * 1,05 ^{t - 1}

= U₁ * ( 1,05 ⁰ + 1,05 ¹+ 1,05 ² + ... + 1,05 ^{t - 1} )

Das ist die ( t - 1 ) - te Partialsumme einer geometrischen Reihe mit Anfangswert U₁  und hat daher die explizite Darstellung:

= U₁ * ( 1,05 ^t - 1 ) / ( 1,05 - 1 )

Wenn nun die Summe U_ges ( t ) aller Umsätze der ersten t Jahre das 11-fache des ersten Jahresumsatzes sein soll, dann muss also gelten:

U₁ * ( 1,05 ^t - 1 ) / ( 1,05 - 1 ) = 11 * U₁

<=> ( 1,05 ^t - 1 ) / 0,05 = 11

<=> ( 1,05 ^t - 1 ) = 0,55

<=> 1,05 ^t = 1,55

<=> log ( 1,05 ^t ) = log ( 1,55 )

<=> t * log ( 1,05 ) = log ( 1,55 )

<=> t = log ( 1,55 ) / log ( 1,05 )

<=> t ≈ 8,98

Also:

Nach etwa 9 Jahren beträgt die Summe aller Umsätze dieser 9 Jahre das 11-fache des Umsatzes des ersten Jahres.