Aufgabe:
Es sei
G := {f: R → R | ∃a, b ∈ R, a ungleich 0: f(x) = ax + b für alle x ∈ R} .
[G ist also die Menge aller reellen Funktionen der Form f(x) = ax + b mit a ungleich 0.] G werde mit der Verkettung (Einsetzoperation)
◦: G × G −> G , (f, g) → f ◦ g ,
versehen, die wie üblich durch ( f ◦ g)(x) := f(g(x)) gegeben ist.
a) Fur welche A, B ∈ R gilt Ax + B = (ax + b) ◦ (cx + d)? Geben Sie für A und B jeweils eine Formel in a, b, c und d an.
b) Geben Sie ein neutrales Element für G an. Verifizieren Sie explizit, daß es nicht nur linksneutral, sondern auch rechtsneutral ist.
c) Zeigen Sie, daß G nicht abelsch ist.
d) Finden Sie zu f ∈ G mit f(x) = ax + b ein inverses Element f^−1 ∈ G. Geben Sie für die Koeffizienten von f^−1 jeweils Formeln in a und b an. Verifizieren Sie explizit, daß f^−1 nicht nur linksinvers, sondern auch rechtsinvers ist.
