Die Aufgabenstellung wurde nun doch noch etwas verändert
Text erkannt:
Seien \( [a, b] \) und \( [A, B] \) Intervalle in \( \mathbb{R} \) und sei
\( f_{n}:[a, b] \longrightarrow[A, B] \subset \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}, \)
eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion \( F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) konvergiert. Weiter sei \( \varphi:[A, B] \rightarrow \mathbb{R} \) eine gleichmäßig stetige Funktion, d.h. es gibt zu vorgegebenem \( \varepsilon>0 \) ein \( \delta>0 \), so dass
\( \left|\varphi(y)-\varphi\left(y^{\prime}\right)\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } y, y^{\prime} \in[A, B] \text { mit }\left|y-y^{\prime}\right|<\delta . \)
Man zeige: Die Folge der Funktionen
\( g_{n}:=\varphi \circ f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}, \)
konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion \( G:=\varphi \circ F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \).
