die Kettenbruchdarstellung einer wurzel bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich möchte den kettenbruch von wurzel12 bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß das ergebnis ist [3,2,6periodisch], die 3 und 2 konnte ich bereits ermitteln und somit den kettenbruch.

Jedoch komme ich nicht auf die 6, kann mir bitte jemand helfen? ich habe das allgemeine verfahren angewendet,

mit alpha = a₀+1/(1/(alpha-) usw. jedoch kann ich nun nicht a2 bestimmen. Mein a1 ist 2 und alpha 1 ist 1/(\( \sqrt{12} -3\)

Comments

vgl:

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Text erkannt:

\( \begin{aligned} \alpha=\sqrt{12} \quad \begin{aligned} \alpha & =a_{0}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha-a_{0}}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha_{1}-a_{1}} \xi_{\alpha_{2}}}} \\ & =3+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}-2}}\end{aligned}\end{aligned} \)
\( \begin{array}{l}a_{0}:=[\alpha]=3 \\ a_{1}=\left[\alpha_{-1}\right]=\left[\frac{1}{\alpha-a_{0}}\right]\end{array} \)
\( \begin{array}{l}=\frac{1}{\sqrt{12}-3} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{\sqrt{12}-3)(\sqrt{12}+31} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{12-3} \\ =\frac{\sqrt{12}-3}{9} \underbrace{9}_{\alpha_{1}} \Rightarrow a_{1}=2\end{array} \)
\( \begin{aligned} a_{2}=\left[a_{2}\right] & =\left[\frac{1}{21-a_{1}}\right] \\ & =\frac{1}{\frac{\sqrt{12}-3}{3}-2} \\ & =\frac{\sqrt{12}-3-6}{3} \\ & =\frac{\sqrt{12}-9}{3} \\ & \Rightarrow a_{2}=\frac{3-9}{3}=\frac{-6}{3}=-2 f .\end{aligned} \)

Das ist mein Weg, a2 stimmt aber nicht, das muss ja 6 sein, aber ich schaffs nicht, hab mir schon so viele videos angesehen (leider konnte ich das bild nicht drehen)

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \alpha=\sqrt{12} \quad \begin{aligned} \alpha & =a_{0}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha-a_{0}}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha_{1}-a_{1}} \xi_{\alpha_{2}}}} \\ & =3+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}-2}}\end{aligned}\end{aligned} \)
\( \begin{array}{l}a_{0}:=[\alpha]=3 \\ a_{1}=\left[\alpha_{-1}\right]=\left[\frac{1}{\alpha-a_{0}}\right]\end{array} \)
\( \begin{array}{l}=\frac{1}{\sqrt{12}-3} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{\sqrt{12}-3)(\sqrt{12}+31} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{12-3} \\ =\frac{\sqrt{12}-3}{9} \underbrace{9}_{\alpha_{1}} \Rightarrow a_{1}=2\end{array} \)
\( \begin{aligned} a_{2}=\left[a_{2}\right] & =\left[\frac{1}{21-a_{1}}\right] \\ & =\frac{1}{\frac{\sqrt{12}-3}{3}-2} \\ & =\frac{\sqrt{12}-3-6}{3} \\ & =\frac{\sqrt{12}-9}{3} \\ & \Rightarrow a_{2}=\frac{3-9}{3}=\frac{-6}{3}=-2 f .\end{aligned} \)

Answer 1

Ich sehe in deinem Text nicht durch:

Recursion\, Kettenbruch:

\(a_{i+1} = \frac{1}{a_i-\lfloor a_i\rfloor}\to \lfloor \frac{1}{a_i-\lfloor a_i\rfloor}\rfloor,i=0\dots n \)

\(\begin{array}{l}a_{0}=\sqrt{12}  =2 \sqrt{3}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}a_{1}=\frac{1}{a_{0}-\left\lfloor a_{0}\right\rfloor}   =\frac{1}{2 \sqrt{3}-3}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}a_{2}=\frac{1}{a_{1}-\left\lfloor a_{1}\right\rfloor}  =2 \sqrt{3}+3\end{array} \)

\(\begin{array}{l}a_{3} & =\frac{1}{a_{2}-\left\lfloor a_{2}\right\rfloor} =  \frac{1}{2 \sqrt{3}-3}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}a_{4}=\frac{1}{a_{3}-\left\lfloor a_{3}\right\rfloor}   =2 \sqrt{3}+3\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\left\lfloor\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}\right\rfloor =\{3,2,6,2,6\}\end{array} \)

\(3+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{2+\cdots}}}}}}}\)

Comments

ja, ich verstehs noch immer nicht mein problem liegt in der bestimmung der eckigen klammer, warum zb. wird wurzel12=2wurzel3?

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@math_student

\(  \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}= \sqrt{4} \; \sqrt{3}   \)

reicht der Hinweis?

und numerisch gerechnet spielt es eh keine Rolle

\(\small \left(\begin{array}{rr}3.4641016151&3\\2.1547005384&2\\6.4641016151&6\\2.1547005384&2\\6.4641016151&6\\2.1547005384&2\\6.4641016139&6\\\end{array}\right)\)

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ja ich habs schon verstanden, ist eigentlich recht einfach