Normalverteilung mit Standardabweichung erwartete Anzahl an produzierten Einheiten

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen produziert ein bestimmtes Gut. Aufgrund von Lieferschwankungen bei den Zulieferprodukten ist die Anzahl X
der produzierten Einheiten des Guts pro Tag zufällig.

Die Verträge mit den Kunden des Unternehmens schreiben vor, dass es an mindestens 98 Prozent aller Tage mindestens 1000 Einheiten des Guts liefern muss.

Was ist die erwartete Anzahl an produzierten Einheiten des Guts, wenn X
normalverteilt ist mit Standardabweichung 100?

Problem/Ansatz:

Ich brauche bitte einen Rechenweg..

Richtige Lösung: 1205,37

Answer 1

Suche das 98-%-Quantil in der Standardnormalverteilungstabelle.

Stelle fest, dass es bei etwa 2,05 Standardabweichungen ist.

Addiere 2,05 mal 100 Einheiten zu 1000 Einheiten.

Answer 2

Untere Grenze 1000, obere Grenze +∞ des Integrals. Der Erwartungswert ist gesucht.

Answer 3

Aloha :)

Die Forderung seitens der Kunden an die Anzahl \(X\) der gelieferten Produkte ist$$P(X\ge1000)\ge0,98$$Wir können annehmen, dass \(X\) normalverteilt ist mit der Standardabweichung \(\sigma=100\).

Gesucht ist der Erwartungswert \(\mu\) der Zufallsvariable \(X\), der die Minimalforderung der Kunden erfüllt. Dazu führen wir eine z-Transformation der Variablen \(X\) auf eine Standardnormalverteilung \(\phi(z)\) durch:$$0,98\stackrel!=P(X\ge1000)=1-P(X<1000)=1-\phi\left(\frac{1000-\mu}{\sigma}\right)$$Wir setzen noch \(\sigma=100\) ein und stellen die Gleichung etwas um:$$\phi\left(\frac{1000-\mu}{100}\right)=0,02\implies\frac{1000-\mu}{100}=\phi^{-1}(0,02)=\pink{-2,053749}$$Den pinken Wert der inversen Standard-Normalverteilung kann man mit einem guten Taschenrechner bestimmen oder auf einer Seite im Netz bestimmen lassen.

Als Lösung dieser Gleichung erhalten wir:$$\mu=1205,3749$$