Wahrscheinlichkeit, dass von täglich 5000 produzierten Einheiten höchstens 125 Ausschuss sind?

Question

Normalverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion.

Aufgabe:

In einem Industriebetrieb beträgt die Ausschussquote 2%. Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass von täglich 5000 produzierten Einheiten

a) höchstens 125 Ausschuss sind?

b) Mindestens 80 aber weniger als 120 Ausschuss sind

Danke euch schon mal

Lg

Answer 1

Parameter der Binomialverteilung
n = 5000
p = 0.02

Parameter der Normalverteilung
μ = n·p = 100
σ = √(n·p·(1 - p)) = 9.899 > 3

a)

Genähert über Normalverteilung
P(X ≤ 125) = Φ((125.5 - 100)/9.899) = Φ(2.58) = 0.9951 = 99.51%

Wahrer Wert über Binomialverteilung
P(X ≤ 125) = ∑ (x = 0 bis 125) ((5000 über x)·0.02^x·0.98^(5000 - x)) = 0.9937 = 99.37%

b)

Genähert über Normalverteilung
P(80 ≤ X < 120) = Φ((119.5 - 100)/9.899) - Φ((79.5 - 100)/9.899) = Φ(1.97) - Φ(-2.07) = 0.9756 - 0.0192 = 0.9564 = 95.64%

Wahrer Wert über Binomialverteilung
P(80 ≤ X < 120) = ∑ (x = 80 bis 119) ((5000 über x)·0.02^x·0.98^(5000 - x)) = 0.9564 = 95.64%

Answer 2

Sei X die Anzahl der kaputten Einheiten: E[X] = 100; sd[X] = √98
Mit der Stetigkeitskorrektur:

a) P(X ≤ 125) = Φ(( 125 - 0.5 - 100) / √98) ≈ 99.3%
b) P(80 ≤ X < 120) = P(80 ≤ X ≤ 120)

Answer 3

a) Φ( (125+0.5-100)/√(98) )

b) Φ( (120-0.5-100)/√(98) ) - Φ( (80-0.5-100)/√(98) )

Dabei ist

        Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung,

        100 der Erwartungswert der Anzahl der fehlerhaften Teile und

        98 die Varianz der Anzahl der fehlerhaften Teile.