Sei G eine Gruppe der Ordnung 2n (n ≥ 1).

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe der Ordnung 2n (n ≥ 1). Zeigen Sie, dass G immer ein Element g ∈ G der Ordnung 2 besitzt.

Kann mir jemand helfen…?

Comments

Tipp: Betrachte die Menge \(M\coloneqq\left\lbrace g\in G\mid g\ne g^{-1}\right\rbrace\) und stelle fest, dass \(\lvert M\rvert\) gerade ist. Anschließend betrachte die Menge \(G\setminus M\).

Answer 1

\(g\) hat genau dann die Ordnung 2, wenn \(g\) selbstinvers ist.

Die Relation definiert durch \(a\sim b \iff a=b \vee a=b^{-1}\) ist eine Äquivalenzrelation mit Äquivalenzklassen der Form \([a] = \{a, a^{-1}\}\).

Dabei ist \(|[a]| = \begin{cases}1&\text{falls }a=a^{-1}\\2&\text{falls }a\neq a^{-1}\end{cases}\)

Es ist \(|[1]| = 1\).

Ist \(|G| = 2n\) für ein \(n\in \mathbb{N}\), dann muss es neben \([1]\) eine weitere Äquivalnzklasse \([g]\) mit \(|[g]|=1\) geben.