Determinanten und Skalare

Question

Ich muss irgendwie von der einen Gleichheit zu der anderen kommen. Kann mir einer helfen?

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Wer sagt, dass diese Formel richtig ist?

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Ursprünglich war das zu zeigen:

Text erkannt:

\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \ldots & a_{n}^{2} \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \ldots & a_{n}^{n-1}\end{array}\right)=\prod \limits_{1 \leqslant k<m<n}\left(a_{m}-a_{k}\right) \)

Nun hatte ich als Beweisidee die vollständige Induktion über n.

Den Induktionsanfang für n = 2 habe ich gut hinbekommen. Das ist ja dann eine 2x2 Matrix wessen Formel für die Determinante gerade dem Produkt für n = 2 entspricht.

Der Induktionsschritt ist ja jetzt die Annahme für die zu zeigende obige Formel und damit die Folgerung für den Nachfolger n+1.

Also:

Und daraus folgt dann das was ich ursprünglich wissen wollte, das ja dann dieses Produkt am Ende der Determinante mit n+1 entsprrechen mus.

Oder habe ich was falsch gemacht?

Answer 1

Erstmal mach Dir klar, was das Produkt bedeutet (heißt: für einfache Beispiele konkret hinschreiben). Dein erster Schritt ist nämlich schon falsch.

Wenn Du es mit Induktion machst, dann muss die Ind.Vor. lauten:

"Gelte die Formel für ein \(n\) und alle \(n\times n\)-Matrizen."

Sonst klappt es nicht.

Beim Ind.Schritt fängt man sinnvollerweise mit der komplizierten Seite der zu zeigenden Gleichung an (weil es dann in Richtung Vereinfachung geht), also hier mit der Determinante.

Dann geht es mit Laplace, aber auch ohne, sondern mit Zeilenumformungen. Ich sehe aber keinen Sinn darin, diesen Trick und Umformungen aus dem Internet abzutippen (ist aufwendiger). Such mal selbst, eine solche Matrix nennt man auch vanderMonde-Matrix.

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Also ich habe diese Matrix in die obere Dreiecksform gebracht, jedoch wurde das ganze sehr unschön bzw. es waren auch zu viele Fallunterscheidungen, die ich machen musste. Könnest Du mir da eventuell einen Tipp geben?

Zu der Methode mit Laplace. Wie genau macht man das da? Also ich habe da nämlich mehrere unterschiedliche Untermatrizen gehabt. Ich brauche ja da die eine bestimmte, um meine Induktionsannahme einsetzen zu können

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Ich hab doch oben einen Tipp gegeben. Was hast Du damit gefunden?

Auch zu Deiner zweiten Frage, wg Laplace, hab ich was gesagt (und das gleiche gilt für den anderen Weg). Hast Du die Antwort gelesen und durchgearbeitet?

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Okay ich habs jetzt, danke!

Answer 2

Du fängst den Induktionsschritt meiner Meinung nach falsch rum an. Berechne die Determinante der Matrix nach Laplace und wende dann auf die Unterdeterminante deine IV an. Das sollte zum Ziel führen.

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Das Problem ist, die Laplace-Formel hatten wir leider noch nicht definiert :(  und ich weiss nicht, ob ich das darf. Wir hatten bis jetzt die Leibnizformel, die Kästchenregel und eben die Axiome mit der Linearität der Zeilen etc…. Kann man das nicht damit irgendwie machen?