Zeige, dass mindestens eine der Zahlen durch 4 teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Es seien n₁,n₂ ..., n_k natürliche Zahlen und n₁ · . . . · n_k + 1 ist durch 4 teilbar bzw. \(4 \left| \left(\prod\limits_{i=1}^{k}n_{k} \right) +1\right.\)

Zeige, dass mindestens eine der Zahlen \((n_{1} + 1),\,(n_{2}+1),\, \dots, \,(n_{k}+1)\) durch 4 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich genau anfangen würde. Ein Beweis per vollständiger Induktion ist hier glaube ich nicht sinnvoll, also vermutlich direkt beweisen und mit dem Zerlegen der natürlichen Zahlen in Primfaktoren bin ich noch nicht weitergekommen, aber das wäre vermutlich Teil der Lösung, da wir das sehr ausführlich in der Vorlesung behandelt haben.

Comments

Hallo

gibt es eine Angabe über k?

lul

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Nein k ist beliebig, daher auch die Idee am Anfang per vollständiger Induktion, aber im Induktionsschritt habe ich keine Verwendung für die IV gefunden und daher nach was anderem gesucht.

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Hallo

zumindest für k=2 und 3 ist es falsch?

lul

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Gegenbeispiel?

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5*10*14 durch 4 tb. 6,11,14 nicht.

was mach ich falsch?

lul

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Offensichtlich liest du die Fragestellung nicht korrekt. Denn das Produkt+1 muss durch 4 teilbar sein.

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5*10*14 ist durch 4 tb?

lul

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Und wo wird das gefordert !?

Answer 1

Das Produkt ist kongruent 3 (mod 4). Es ist zu zeigen, dass es einen Faktor n mit n≡3 (mod 4) gibt.

Ich schreibe mal die möglichen Reste von n1 · . . . · nk (ohne 3) auf:

1 i-mal --- trägt nichts zum Rest des Produkts bei

2 j-mal --- Rest ist gerade

4 k-mal --- Rest ist gerade

Comments

Wären nicht die Reste eigentlich 0, 1 und 2. Also statt 4 einfach die 0.

Nur mit den Faktoren 0, 1 und 2 kommt man aber nicht auf den Faktor 3 weshalb mind. ein Faktor den Rest 3 liefern muss.

Answer 2

n₁ · . . . · n_k + 1 ist durch 4 teilbar

Dann sind alle Faktoren n₁, n₂, ... n_k ungerade, sie lassen damit bei Teilung durch 4 den Rest 1 oder 3.

Würden alle den Rest 1 lassen, hätte auch das Produkt den Rest 1, und "Produkt + 1" hätte den Rest 2 bei Teilung durch 4.

Also muss einer der Faktoren den Rest 3 lassen...