Eine Möglichkeit ist, zunächst den Binomialkoeffizienten wie folgt umzuformen:
\(\binom{2n}n = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} = \ldots\)
Produkt im Zähler in gerade und ungerade Faktoren zerlegen
\(\ldots = \frac{\prod_{i=1}^n ({\color{blue}2}i) \prod_{i=1}^n (2i-1)}{\left(\prod_{i=1}^n i\right)^2}= \ldots\)
die \({\color{blue}2}\) aus dem Produkt ziehen, kürzen und als ein einziges Produkt schreiben
\(\ldots =2^n\cdot \frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=1}^n i} = 2^n \cdot\underbrace{\prod_{i=1}^n \left(2-\frac 1i\right)}_{(\star)} \quad (1)\)
Jetzt freuen wir uns schon, denn alle Faktoren im Produkt \((\star)\) sind kleiner als 2.
Zu zeigen war, dass für \(n\geq 5\) gilt:
\(\binom{2n}n = 2^n \prod_{i=1}^n \left(2-\frac 1i\right) <2^{2n-2}\)
Es genügt also zu zeigen, dass für \(n\geq 5\) gilt:
\(\frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=1}^n i} = \prod_{i=1}^n \left(2-\frac 1i\right) <2^{n-2}\)
Da aber alle Faktoren im Produkt \((\star)\) kleiner als 2 sind, genügt es zu zeigen, dass
\(\frac{ \prod_{i=1}^{\color{blue}5} (2i-1) }{\prod_{i=1}^{\color{blue}5} i }= \frac{63}8 < 8 = 2^{{\color{blue}5}-2}\), was eine wahre Aussage ist.
