Aufgabe:
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Zeigen Sie die folgenden Indentitaten.
(a) Für \( 0 \leq k<n \) ist \( \left[\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right]=\sum \limits_{A \in\binom{(1, \ldots, n-1)}{n-k}} \prod \limits_{a \in A} \) a. Hinweis: Benutzen Sie Satz 2.16 aus der Vorlesung.
Text erkannt:
Satz 2.17. Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt \( X(X+1) \ldots(X+n-1)=\sum \limits_{k=0}^{n}\left[\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right] X^{k} \in \mathbb{C}[X] \).
Beweis. Induktion nach \( n \) : Für \( n=0 \) steht links das leere Produkt und rechts \( \left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]=1 \). Sei nun \( n \geq 2 \) und die Behauptung für \( n-1 \) bereits bewiesen. Wir können die Summation auf \( -\infty \ldots \infty \) ausdehnen, um Indexverschiebungen zu vereinfachen:
\( \begin{aligned} X(X+1) \ldots(X+n-1) & =(X+n-1) \sum \limits_{k=-\infty}^{\infty}\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right] X^{k}=\sum\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right] X^{k+1}+\sum(n-1)\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right] X^{k} \\ & =\sum\left[\begin{array}{l} n-1 \\ k-1 \end{array}\right] X^{k}+\sum(n-1)\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right] X^{k} \sum\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right] X^{k} \end{aligned} \)
Problem/Ansatz:
Kann ich das hier auch mit der Induktion lösen oder muss hier anders vorgehen als wie im skript steht. nicht wundern 2-16 ist 2.17 man hatte es im skirpt nicht umgeändert.
