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bei meiner Frage handelt es sich um ein paar Schritte der vollständigen Induktion. Es geht um den Beweis der Richtigkeit der Formel, die Gauß verwendet hat um sämtliche Zahlen von 1 bis 100 aufzuaddieren.

Die unten aufgeführten Schritte stellen den Beweis für die Gleichung A(k+1) dar:

$$\sum _{ i=1 }^{ k+1 }{ i } =\frac { 1 }{ 2 } k(k+1)((k+1)+1).$$

Wie erklären sich die nun folgenden Schritte?

$$\sum _{ i=1 }^{ k+1 }{ i } =\quad (\sum _{ i=1 }^{ k }{ i } )\quad +\quad (k+1)\\ =\quad (\frac { 1 }{ 2 } k(k+1))+(k+1)\\ =\quad (\frac { 1 }{ 2 } k+1)\quad (k+1)\\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } (k+2)\quad (k+1)\\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } (k+1)((k+1)+1)$$

Ich blick da irgendwie mit den mathematischen Gesetzen bzw. dem Ausklammern und Umformen nicht durch, dass aus Addition plötzlich Multiplikation wird.
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deine Ausgangsformel ist rechts falsch. Der Faktor k hinter 1/2 muss weg.

Ausklammern:  a * K + b * K = K * (a + b)   Distributivgesetz.


> Wie erklären sich die nun folgenden Schritte? 

die Gleichheitszeichen der Reihe nach:

1)  rechts ist bei ∑  der Summand mit  i = k+1 weggelassen und steht dafür allein :   + (k+1)

2) auf die ∑  wurde die bekannte Formel  für "Summe der ersten k natürlichen Zahlen (#)" angewendet.

3) aus der gesamten Summe würde (k+1) ausgeklammert

4) aus der 1. Klammer wurde 1/2 ausgeklammert

5) (k+2) wurde nach hinten in der Form  ((k+1)+1) geschrieben

und dann steht da die (richtige) Ausgangsformel.

-------------

(#)

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm

Gruß Wolfgang

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