Wie kann ich mir die folgenden Schritte in der Vollständigen Induktion erklären?

Question

bei meiner Frage handelt es sich um ein paar Schritte der vollständigen Induktion. Es geht um den Beweis der Richtigkeit der Formel, die Gauß verwendet hat um sämtliche Zahlen von 1 bis 100 aufzuaddieren.

Die unten aufgeführten Schritte stellen den Beweis für die Gleichung A(k+1) dar:

$$\sum _{ i=1 }^{ k+1 }{ i } =\frac { 1 }{ 2 } k(k+1)((k+1)+1).$$

Wie erklären sich die nun folgenden Schritte?

$$\sum _{ i=1 }^{ k+1 }{ i } =\quad (\sum _{ i=1 }^{ k }{ i } )\quad +\quad (k+1)\\ =\quad (\frac { 1 }{ 2 } k(k+1))+(k+1)\\ =\quad (\frac { 1 }{ 2 } k+1)\quad (k+1)\\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } (k+2)\quad (k+1)\\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } (k+1)((k+1)+1)$$

Ich blick da irgendwie mit den mathematischen Gesetzen bzw. dem Ausklammern und Umformen nicht durch, dass aus Addition plötzlich Multiplikation wird.

Answer 1

deine Ausgangsformel ist rechts falsch. Der Faktor k hinter 1/2 muss weg.

Ausklammern:  a * K + b * K = K * (a + b)   Distributivgesetz.

> Wie erklären sich die nun folgenden Schritte? 

die Gleichheitszeichen der Reihe nach:

1)  rechts ist bei ∑  der Summand mit  i = k+1 weggelassen und steht dafür allein :   + (k+1)

2) auf die ∑  wurde die bekannte Formel  für "Summe der ersten k natürlichen Zahlen (#)" angewendet.

3) aus der gesamten Summe würde (k+1) ausgeklammert

4) aus der 1. Klammer wurde 1/2 ausgeklammert

5) (k+2) wurde nach hinten in der Form  ((k+1)+1) geschrieben

und dann steht da die (richtige) Ausgangsformel.

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(#)

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm

Gruß Wolfgang