$$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k+1} = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^k + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}x^k + x^{n+1} \\ = 1 + \sum_{k=1}^n \left( \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \right) x^k + x^{n+1} = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} x^k + x^{n+1} \\ = \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k} x^k$$
Elementar für die Lösung ist hierbei die Verwendung der Rekursionsformel für den Binomialkoeffizienten.
Gruß
