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Aufgabe:

Es sei q1 q \neq 1 eine reelle Zahl und sei q0=1 q^{0}=1 (auch für q=0 q=0 ). Versuchen Sie, die folgenden beiden Formeln für alle ganzen Zahlen n0 n \geq 0 mittels vollständiger Induktion zu beweisen:


(a) k=0nqk=qn+1q2+q1q1+q \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{q^{n+1}-q^{2}+q-1}{q-1}+q ,
(b) k=0nqk=qn+1+q2q1q1 \quad \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{q^{n+1}+q^{2}-q-1}{q-1} .

Welche Formel ist richtig? Ist keine von beiden richtig? Welcher Schritt im Beweis funktioniert ggf. nicht, und warum nicht?


Problem/Ansatz:

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k=0nqk=qn+1q2+q1q1+q=qn+1q2+q1+q2qq1=qn+11q1 \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{q^{n+1}-q^{2}+q-1}{q-1}+q =\frac{q^{n+1}-q^{2}+q-1+q^2-q}{q-1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} also richtig.

Bei der 2. Formel gibt es für n=0

1=k=00qk=q1+q2q1q1=q21q1=q+1 1 = \sum \limits_{k=0}^{0} q^{k}=\frac{q^{1}+q^{2}-q-1}{q-1} =\frac{q^{2}-1}{q-1}=q+1   also falsch, da q≠0

Avatar von 289 k 🚀

danke. ich habe irgendswie a als falsch und b als richtig

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