Welche der folgenden Formeln ist richtig?

Question

Aufgabe:

Es sei \( q \neq 1 \) eine reelle Zahl und sei \( q^{0}=1 \) (auch für \( q=0 \) ). Versuchen Sie, die folgenden beiden Formeln für alle ganzen Zahlen \( n \geq 0 \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen:

(a) \( \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{q^{n+1}-q^{2}+q-1}{q-1}+q \),
(b) \( \quad \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{q^{n+1}+q^{2}-q-1}{q-1} \).

Welche Formel ist richtig? Ist keine von beiden richtig? Welcher Schritt im Beweis funktioniert ggf. nicht, und warum nicht?

Problem/Ansatz:

Answer 1

\( \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{q^{n+1}-q^{2}+q-1}{q-1}+q =\frac{q^{n+1}-q^{2}+q-1+q^2-q}{q-1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \) also richtig.

Bei der 2. Formel gibt es für n=0

\( 1 =  \sum \limits_{k=0}^{0} q^{k}=\frac{q^{1}+q^{2}-q-1}{q-1} =\frac{q^{2}-1}{q-1}=q+1 \)  also falsch, da q≠0

Comments

danke. ich habe irgendswie a als falsch und b als richtig