Wie beweise ich die Divergenz von Fakultäten und Wurzel

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für die angegebenen Folgen die Konvergenz oder Divergenz und
bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert. Begründen Sie ihr vorgehen

a) an = \( \frac{n!}{n^3} \)

^{c) cn = \( \sqrt{n^6+2n}-n^3 \)}

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich habe ein Problem damit, zu beweisen, dass die oben genannte Folge divergiert.

Ich weiß das der Wachstum von Fakultät viel stärker ist, als der polynomielle Wachstum.

Allerdings komme ich nicht darauf, wie ich vorzugehen habe dies zu beweisen, außer direkt sagen zu können, dass

n! > n^3 genau ab n=6 gilt.

Bei Aufgabe c) bin ich damit überfragt, wie ich nach der Wurzelumformung weiter zu rechnen habe.

Lösungsansätze & begründete Vorgehensweise sind mehr als willkommen!

Vielen Dank im voraus

Answer 1

(a)  Dass \(n!>n^3\) für \(n\ge6\) gilt, heißt noch nicht, dass die Folge divergiert.
Z.B. gilt auch \(n+1>n\) für \(n\ge1\), aber die Folge \(c_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n\) divergiert offensichtlich nicht.

Es gibt sicher unterschiedliche Methoden, um Divergenz zu zeigen.
Eine davon könnte folgendermaßen aussehen: Für alle \(n>3\) gilt:$$\begin{aligned}\frac{n!}{n^3}&=\frac{n{\cdot}(n-1){\cdot}(n-2){\cdot}(n-3)!}{n^3}=\frac{n^2-3n+2}{n^2}\cdot(n-3)!\\&=\left(1-\frac3n+\frac2{n^2}\right)\cdot(n-3)!>\left(1-\frac34\right)\cdot(n-3)!=\frac14\cdot(n-3)!.\end{aligned}$$Daraus folgt Divergenz.

(b)  Erweitere mit \(\displaystyle\sqrt{n^6+2n}+n^3\).

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort ! :)

Answer 2

Hallo :-)

Zu a) kennst du sicherlich die Implikationsaussage konvergenter Folgen, die ja verbal lautet: ,,Folge konvergent => Folge ist beschränkt."

Die Kontraposition sagt also: ,,Folge nicht beschränkt => Folge nicht konvergent."

Zeige/prüfe mal genau diesen Ansatz bei deiner Folge in a), indem du zeigst, dass deine Folge nicht beschränkt ist.

Bei c) bietet es sich an, den Wurzelausdruck geschickt mit der 3. binomischen Formel zu erweitern, also konkret:

$$c_n=\sqrt{n^6+2n}-n^3=\frac{(\sqrt{n^6+2n}-n^3)\cdot ( \sqrt{n^6+2n}+n^3)}{\sqrt{n^6+2n}+n^3}$$

Ansonsten halt vereinfachen.

Comments

Hallo,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort ! :)

Wäre es auch möglich c) mit dem Sandwichtheorem zu beweisen?

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Das kannst du gerne ausprobieren.

Answer 3

a) Quotientenkriterium:

(n!(n+1)*n^3)/(n+1)^3*n!) = (n^4+n^3)/(n^3+3n^2+3n+1)

(n+1/n)/(1/n+3/n^2+3/n^3+1/n^4) = (1+0)/(0+0+0+0)= +oo für n ->oo

Comments

Hast Du eigentlich beim vorletzten = mit n^3 oder mit n^4 gekürzt?

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Die letzten beiden =-Zeichen wären auch bei richtigem Kürzen falsch.

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Hast Du eigentlich beim vorletzten = mit n3 oder mit n4 gekürzt?

n^4

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Wieso bleibt dann ein n im Zähler?

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(n+1/n)/(1/n+3/n^2+3/n^3+1/n^4) = (n+0)/(0+0+0+0)= +oo für n ->oo

Bitte nicht so aufschreiben!

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Wieso bleibt dann ein n im Zähler?

Danke, das war ein Versehen, wohl weil ich ans Kürzen mit n^3 gedacht hatte.

Bitte nicht so aufschreiben

Ich weiß, mir ging es nur um die Rechnung, wie man auf Divergenz schnell kommt.

Den lim bitte dazudenken.