Wie beweise ich die Divergenz einer alternierenden Folge?

Question

Eine solche fragliche Folge wäre:
fn=((-1)^n)*n
Klar ist, dass sie für ungerade n negativ und für gerade n positiv wird und somit zwischen immer höheren Werten im Positivem wie im Negativem alterniert.Doch wie mache ich hier eine richtige Beweisführung (minutiöse Unimathematik)?Ich weis, dass sie nicht beschränkt ist und deshalb divergiert, aber was nun?

Answer 1

indirekt:   Sei g der Grenzwert, dann müsste es zu jedem eps> 0

 ein no existieren, sodass für  alle n > no gilt   | fn  - g |  < eps. 

Sei etwa eps = 0,5 .    Dann wäre  für  alle n > no gilt   | fn  - g |  < 0,5

Sei also n>n0 dann ist auch n+1 > no und es wäre sowohl 

  | f_n  - g |  < 0,5    also auch     | f_n+1  - g |  < 0,5    also 


  | ((-1)ⁿ)*n  - g |  < 0,5        und     | ((-1)ⁿ⁺¹)(n+1)  - g |  < 0,5  

⇔  
  | ((-1)ⁿ)*n  - g |  < 0,5        und     | ( (-1)*(-1)ⁿ)(n+1)  - g |  < 0,5  

⇔  
  | ((-1)ⁿ)*n  - g |  < 0,5        und     | (   - (-1)ⁿ)*n  - 1   - g |  < 0,5  

⇔  
  | ((-1)ⁿ)*n  - g |  < 0,5        und     | (   - (-1)ⁿ)*n   - (g  +  1)   |  < 0,5  


⇔  
 ((-1)ⁿ)*n   -0,5 <   g   < 0,5+((-1)ⁿ)*n      
  und       - (-1)ⁿ)*n - 0,5   < g   <   - (-1)ⁿ)*n  +   0,5  

nun sind ((-1)ⁿ)*n   und    - (-1)ⁿ)*n  zwei ganze Zahlen mit Betrag ≥ 1

und verschiedenem Vorzeichen.  Dann sagt die eine Ungleichung

g>0 und die andere g<0  .  Widerspruch !